Материал: Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с
Квантование атомов |
165 |
|
|
Р е ш е н и е. Из условия, что кратность вырождения по J, т. е. 2J 1 7, находим J 3. Отсюда следует, что S может быть только целым числом: 1, 2, ... Соответственно L равно 3, 6, ...
При S 1 и L 3 одно из значений J будет равно 3. Если же взять другую пару: S 2 и L 6, то значение J 3 из них получить невозможно. То же и при больших значениях S.
Остается S 1, L 3, J 3. Соответствующий спектральный символ 3F3.
6.9.Правила Хунда. Найти кратность вырождения основного терма атома, электронная конфигурация единственной незаполненной подоболочки которого d6.
Р е ш е н и е. Символ d соответствует l 2. Составим табличку распределения электронов по значениям квантового числа ml, стараясь в соответствии с правилами Хунда, чтобы суммарное S было максимальным и чтобы при этом и L было максимальным (точнее следует говорить сначала о максимальных значениях mS и mL). Из приведенной таблички
ml |
2 |
1 |
0 |
–1 |
–2 |
ms |
ΒΧ |
Β |
Β |
Β |
Β |
видно, что максимальная сумма mS 2, значит и S 2. Кроме того, максимальное значение mL 2, значит и L 2. Так как подоболочка заполнена более, чем наполовину, то по второму правилу Хунда J L S 4.
Итак, основной терм этой конфигурации 5D4 и его кратность вырождения (число различных mJ) определяется как 2J 1, т. е. девять.
6.10.Рентгеновские спектры. Найти порядковый номер Z легкого эле-
мента, у которого в спектре поглощения рентгеновского излучения разность частот K- и L-краев поглощения равна 6,85 1018 с–1. Р е ш е н и е. По существу — это разность энергий связи электрона на K- и L-уровнях, частота перехода между которыми (cм. рис. 6.7) определяется законом Мозли (6.43). Таким образом, из равенства
34 R( Z 1)2
166 |
Глава 6 |
|
|
найдем:
Z 1 
4 /3R 22, т. е. титан.
6.11.Найти энергию связи K-электрона ванадия (Z 23), для которого длина волны L-края полосы поглощения равна L.
Р е ш е н и е. С помощью схемы на рис. 6.7 можно записать, что искомая энергия связи
EK L K
где L 2 c/ L и K — частота, определяемая законом Мозли (6.43). В результате
E |
|
Ε |
2 c |
|
3 |
R( Z 1)2 |
Η . |
Γ |
|
|
|||||
K |
|
L |
4 |
|
ϑ |
||
|
|
Φ |
|
Ι |
|||
Глава 7
Магнитные свойства атома
§ 7.1. Магнитный момент атома
Орбитальный магнитный момент. Ранее неоднократно отмечалось, что с механическим моментом М атома связан магнитный момент . В § 2.3 было получено классическое выражение (2.33) для связи с М, обусловленной орбитальным движением электрона в атоме водорода. В квантовой теории величины и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М следует заменить операторами и M: |
|
||||||
|
e |
|
|
e |
|
||
|
|
M, |
z |
|
Mz . |
(7.1) |
|
|
2mc |
|
|
2mc |
|
||
Отсюда следует, что изучение свойств магнитного момента элек-
|
|
|
|
|
|
. А так |
трона сводится к изучению свойств операторов и |
z |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и Mz |
отличаются друг от друга только |
||||
как операторы и M, z |
||||||
постоянным множителем, то их свойства совершенно аналогичны: магнитный и механический моменты квантуются по одинаковым правилам.
В стационарном состоянии определенные значения могут иметь только модуль магнитного момента L и одна из его проекций на произвольную ось Z. Имея в виду (7.1), а также (6.34)
|
|
|
|
|
и (6.36), запишем собственные значения операторов |
и z : |
|||
L – Б |
|
, |
L 0, 1, 2, ... |
|
L(L 1) |
(7.2) |
|||
Lz – БmL, mL |
0, 1 1, 1 2, ..., 1 L, |
(7.3) |
||
где Б — магнетон Бора (2.36): Б eh/2mc. Он играет роль кванта магнитного момента (точнее его проекции z).
В заключение отметим, что
1)отношение магнитного момента к механическому, т. е.
/M e/2mc, |
(7.4) |
называют гиромагнитным отношением;
2)знак минус в вышеприведенных формулах указывает на то, что «векторы» m и М взаимно противоположны по направлению (в классическом смысле понятия «векторов»).
168 |
Глава 7 |
|
|
Опыты Штерна и Герлаха. Наличие у атомов магнитных моментов и их квантование было доказано экспериментально Штерном и Герлахом (1921). В их опытах пучок атомов пропускался сквозь сильно неоднородное поперечное магнитное поле (рис. 7.1, а). Необходимая степень неоднородности поля достигалась с помощью специальной формы полюсных наконечников N и S электромагнита (рис. 7.1, б). После прохождения магнитного поля пучок атомов попадал на фотопластинку P и оставлял на ней след.
Рис. 7.1
Если атомы обладают магнитным моментом, то согласно электродинамике на них будет действовать сила, проекция которой на ось Z (см. рис. 7.1, б)
Fz z Bz , (7.5)
z
где z — проекция магнитного момента атома на ось Z. Из этой формулы видно, что для получения необходимого эффекта при малых значениях z нужно обеспечить достаточно большую неоднородность поля, т. е. Bz/ z. Это и достигалось с помощью указанной формы полюсных наконечников.
В отсутствие магнитного поля след пучка на фотопластинке P имел вид одной полоски (z 0). При включении же магнитного поля наблюдалось расщепление пучка (рис. 7.1, в), что являлось следствием квантования проекции магнитного моментаz в формуле (7.5): z может принимать только ряд дискретных значений. В опытах обнаружилось также, что для разных атомов число компонент, на которые расщеплялся пучок, было или нечетным, или четным.
Магнитные свойства атома |
169 |
|
|
Анализ полученных результатов показал, что нечетное число компонент возникает у атомов, обладающих только орбитальным механическим моментом МL, тогда магнитное поле снимает вырождение по L и число компонент (значений mL) будет равно 2L 1, т. е. нечетным.
Если же момент атома является суммой орбитального и спинового, т. е. определяется квантовым числом J, то число компонент будет равно 2J 1, и в зависимости от того, полуцелым или целым будет значение J, число компонент будет соответственно четным или нечетным.
В частности, при пропускании атомов водорода или серебра пучок расщеплялся на две компоненты, что в свое время явилось полной неожиданностью, поскольку в основном состоянии их орбитальные моменты равны нулю (а спиновые моменты были еще неизвестны), и пучок не должен был расщепляться.
Но вскоре объяснение было найдено: эти атомы обладают спиновым моментом (s 1/2), и число 2s 1 компонент ms в полном соответствии с опытом равно двум.
Спиновый магнитный момент. Зная степень неоднородности магнитного поля, т. е. Bz/ z, Штерн и Герлах по величине расщепления пучка на фотопластинке рассчитали значение проекции спинового магнитного момента на направление магнитного поля, B. Выяснилось, что B равен одному магнетону Бора. Этот результат сначала также оказался неожиданным, поскольку приводит к гиромагнитному отношению вдвое превышающему (7.4), связывающему орбитальные моменты. В связи с этим говорят, что спин обладает удвоенным магнетизмом.
Итак, спиновый магнитный момент и его проекция на произвольную ось Z определяются как
S 2 Б |
S(S 1) |
, |
(7.6) |
Sz 2 Б mS , mS S, S 1, ..., S. |
(7.7) |
||
При S 1/2 mS 1/2 и –1/2.
Принято говорить, что спиновый магнитный момент электрона равен одному магнетону Бора. Такая терминология обусловлена тем, что при измерении магнитного момента мы обычно измеряем его проекцию, а она как раз и равна одному Б.