Материал: Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с

делению максимального вращательного квантового числа r уровня с энергией . Учитывая (5.33), запишем

2 r (r 1) , 2I

откуда

r2 r – 2 I/h 0.

Решение этого уравнения дает rмакс:

Следовательно, чисто вращательный спектр данной молекулы содержит около 30 линий.

5.10.Колебательно-вращательная полоса. В середине колебательно-вра- щательной полосы спектра испускания молекул HCl, где отсутст-

вует «нулевая» линия, запрещенная правилом отбора, интервал между соседними линиями равен 0. Найти расстояние между ядрами молекулы НСl.

Р е ш е н и е. Сначала найдем интервал Е между соседними вращательными энергетическими уровнями. Согласно (5.34),

2

E (r 1).

I

Соответствующая ему частота перехода

r E (r 1) I.

При переходе к соседней линии r меняется на единицу, согласно правилу отбора (5.35), и интервал между соседними линиями

( r) h I h/I,

где r 1. Остается учесть, что в середине колебательно-враща- тельной полосы этот интервал будет вдвое больше, а также выра-

жение (5.37) для момента инерции молекулы. В результате получим 0 2 2h/ d2, откуда

d 2 0 ,

где — приведенная масса молекулы, m1m2/(m1 m2).

Глава 6

Квантование атомов

§ 6.1. Квантование атома водорода

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из электрона e, который движется в кулоновском поле ядра с зарядом Zе. Такую систему называют водородоподобной. При Z 1 это атом водорода, при Z 2 — однократно ионизированный атом гелия — ион Не+, при Z 3 — двукратно ионизированный атом лития — ион Li++ и т. д.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром в такой системе равна

r

где r — расстояние между электроном и ядром, которое в первом приближении будем считать точечным (здесь и далее).

Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид

Поле (6.1), в котором движется электрон, является централь- но-симметричным, т. е. зависит только от r. Поэтому решение уравнения (6.2) наиболее целесообразно проводить в сферической системе координат r, , , где оператор Лапласа . 2 имеет следующий вид:

Мы не будем воспроизводить здесь этапы решения уравнения (6.2), поскольку оно слишком громоздко (об этом красноречиво свидетельствует уже сам вид оператора Лапласа). Остановимся лишь на сути процесса решения и на анализе окончательных результатов.

Решение уравнения (6.2) проводят методом разделения переменных с учетом естественных требований, налагаемых на /-функцию: она должна быть однозначной, конечной, непрерывной и гладкой. В процессе решения обнаруживается, что этим требованиям можно удовлетворить при любых положительных значениях энергии E, но в области отрицательных значений E — только при дискретных значениях E, а именно, если

Этот случай (E < 0) для нас представляет особый интерес, поскольку он соответствует связанным состояниям электрона (электрону в атоме).

Таким образом, последовательное решение уравнения Шредингера приводит в случае E < 0 к формуле (6.4) для энергетических уровней — без использования каких-либо дополнительных постулатов (в отличие от первоначальной теории Бора). Кроме того, совпадение с формулой (2.25) означает, что мы пришли к той же самой системе энергетических уровней (см. рис. 2.7). Это же относится и к частотам излучения при переходах между уровнями. Поэтому повторять нет необходимости.

Различие в интерпретации относится только к состояниям электрона: в теории Бора это движение по стационарным орбитам, здесь же орбиты теряют физический смысл, их место за- нимают /-функции.

Собственные функции уравнения (6.2), т. е. /-функции, содержат, как выяснилось, три целочисленных параметра — n, l, m:

где n называют главным квантовым числом (это то же n, что и в выражении для Еn). Параметры же l и m — это орбитальное и магнитное квантовые числа, определяющие по формулам (5.25) и (5.26) модуль момента импульса М и его проекцию Мz.

В процессе решения выясняется, что решения, удовлетворяющие естественным условиям, получаются лишь при значениях l, не превышающих n – 1. Таким образом, при данном n квантовое число l может принимать n значений:

В свою очередь, при данном l квантовое число m согласно (5.26) может принимать 2l 1 различных значений:

m 0, 1 1, 1 2, ..., 1 l. (6.7)

Энергия Еn электрона (6.4) зависит только от главного квантового числа n. Отсюда следует, что каждому собственному значению En (кроме случая n 1) соответствует несколько собственных функций /nlm, отличающихся значениями квантовых чисел l и m. Это означает, что электрон может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Например, энергией E2 (n 2) обладают четыре состоя-

ния: /200, /21–1, /210, /21+1.

Кратность вырождения. Состояния с одинаковой энергией называют вырожденными, а число различных состояний с определенным значением энергии En — кратностью вырождения данного энергетического уровня.

Кратность вырождения n-го уровня водородоподобной системы можно определить, учитывая число возможных значений l и m. Каждому из n значений квантового числа l соответствует 2l 1 значений m. Поэтому полное число N различных состояний для данного n равно

l 0

Следовательно, кратность вырождения n-го энергетического уровня водородоподобных систем равна n2.

В действительности, как будет показано в дальнейшем (§ 6.3), это число надо удвоить из-за наличия собственного момента (спина) у электрона. Таким образом, кратность вырождения n-го энергетического уровня

Символы состояний. Различные состояния электрона в атоме принято обозначать малыми буквами латинского алфавита в зависимости от значения орбитального квантового числа l: