Материал: Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с
Основы квантовой теории |
125 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лос, состоящих из весьма близких ли- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ний, расположенных симметрично отно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сительно «линии» с частотой 0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
отстоящих друг от друга на 1 /I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Схема соответствующих уровней, перехо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дов и расположения спектральных линий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в полосе показана на рис. 5.5. В середине |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
полосы интервал между соседними лини- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ями вдвое больше, поскольку линия с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
частотой 0 не возникает из-за правила |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
отбора (5.35), согласно которому r 1. |
Рис. 5.5 |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
Задачи
5.1. Проверить следующее операторное равенство:
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
x |
|||||
|
|
x |
|
|
||
Р е ш е н и е. Имея в виду, что |
= |
/ |
||||||||||
Q |
||||||||||||
|
|
|
/ |
/ |
/ |
/ |
|
/ |
|
2 / |
||
1 |
|
|
|
x |
x |
x 2 |
||||||
|
||||||||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|||||
Равенство, таким образом, доказано.
2x 2 .
= (
Q
1
/ ), запишем:
Q
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
/. |
||
|
|
|
2 |
||||
|
x |
x |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
5.2.Коммутативность операторов. Проверить, коммутируют ли операторы:
а) x |
и px; |
б) x и |
py; в) |
px |
и py. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е. а) Вопрос сводится к установлению разности: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
/ |
|
/ |
|
|
|
|
xpx |
/ px x/ i |
|
x |
x |
|
x |
( x/ ) |
i |
|
x |
x |
x |
/ |
i |
|
/. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, эти операторы взаимно не коммутируют.
б) |
|
|
|
|
|
|
x/ T |
|
/ |
x |
/ |
0, |
|
|
|
|
|
||
xp |
/ p |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||
т. е. операторы коммутативны. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
/ |
|
2 / |
|
2 / |
|
||||
в) |
p p |
/ |
– |
|
p p / |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
||
|
x |
|
y |
|
|
|
y x |
|
|
x y |
|
|
|
|
x y y x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
||||||
Операторы коммутативны.
126 Глава 5
5.3. Собственные значения и собственные функции. Найти собствен-
|
|
|
|
2 |
|
||
ное значение оператора A |
x2 |
, принадлежащее собственной |
|||||
функции / C sin2x, C — постоянная. |
|
||||||
Р е ш е н и е. Согласно (5.16) |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ A . |
(1) |
||
x 2 |
|||||||
Дважды продифференцировав функцию / пo х, получим |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
(2 cos 2x ) 4 sin2x. |
(2) |
||||
x |
|||||||
Из сопоставления (2) с (1) находим А 4.
5.4. Найти собственные функции / и собственные значения оператора
–i x , если /(x) /(x a), a — постоянная. Р е ш е н и е. На основании (5.16) запишем
–i |
|
/ /, |
(1) |
|
|||
x |
|||
откуда |
|
|
|
/ |
i x. |
(2) |
|
|
/ |
||
Проинтегрировав это уравнение, получим
ln/ i x C, (3) где С — произвольная постоянная. Потенцируя (3), получим
/ Cei x.
По условию (/ — периодическая) следует, что
|
ei x ei (x + a), |
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
ei a 1, |
a 2 n, |
n 0, |
11, |
12, ... |
||
В результате |
|
|
|
|
|
|
/ Cei x, |
|
2 n |
, |
n 0, |
11, |
12, ... |
|
||||||
|
|
a |
|
|
|
|
Постоянная C остается неопределенной.
Основы квантовой теории |
127 |
|
|
5.5.Средние значения. В некоторый момент частица находится в состоянии, описываемом /-функцией, координатная часть которой /(x) Aexp(ikx – x2/a2), где А и а — неизвестные постоянные. Найти средние значения:
а) координаты х; б) проекции импульса рx.
Р е ш е н и е. а) В соответствии с формулой (5.1)
8x9 x// 0dx AA 0 x exp( 2x 2 /a 2 ) dx.
Поскольку подынтегральная функция нечетная, то интеграл равен нулю, значит и 8х9 0.
б) Согласно (5.3) сначала найдем производную // x:
/ /( x ) (ik 2x a 2 ).
x
После подстановки этого выражения в (5.3) получим
|
|
|
8 px 9 i AA 0 (ik 2x a 2 ) exp( 2x 2 a 2 ) dx. |
(1) |
|
|
|
|
Из условия нормировки следует, что |
|
|
|
|
|
// 0dx AA 0 exp( 2x 2 a 2 ) dx 1. |
(2) |
|
|
|
|
Кроме того, интеграл (1) представляет собой разность двух интегралов. Второй из них равен нулю, так как подынтегральная функция его является нечетной. Остается первый интеграл:
ppxq kAA 0 exp( 2x 2
a 2 ) dx.
Учитывая (2), получим в результате
ppxq hk.
5.6.Частица находится в сферически-симметричном потенциальном поле в состоянии, описываемом нормированной пси-функцией
1 e r
a 
,
2 a r
где r — расстояние от центра поля, а — постоянная. Найти 8r9.
128 Глава 5
Р е ш е н и е. В данном случае в формуле (5.1) под dх надо понимать элемент объема dV. В качестве такового для упрощения расчета наиболее целесообразно взять сферический слой с радиусами r и r dr. Для него dV 4 r2dr и
|
e |
2 r a |
|
2 |
|
|
prq r/ 2 4 r 2dr |
4 r 3dr |
e 2 r ar dr . |
||||
2 |
ar 2 |
a |
||||
0 |
|
0 |
||||
|
|
|
|
Введем новую переменную 2r/а у. Тогда предыдущее выражение примет вид
|
a |
|
|
prq |
e y y dy. |
||
|
|||
2 |
0 |
||
Взяв интеграл по частям, находим, что он равен единице. Таким образом
prq а/2.
5.7.Найти среднюю кинетическую энергию частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми
стенками (0 < х < l), если частица находится в состоянии /(x) Ax(l – x).
Р е ш е н и е. Прежде всего найдем нормировочный коэффициент А:
ll
/ 2 dx A 2 x 2 (l x )2 dx A 2l 5/30.
00
Из условия нормировки полученный результат должен быть равен единице. Отсюда
A2 30/l5.
Средняя кинетическая энергия согласно (5.5) определяется как
l
/( /)d , pKq K x
0
где выражение в круглых скобках можно представить с помощью (5.8) в виде
|
2 2/ |
|
2 |
||
K/ |
|
|
|
|
( 2A). |
2m x2 |
2m |
||||
После подстановки в выражение для 8K и интегрирования получим:
pKq 5h2/ml2.
Основы квантовой теории |
129 |
|
|
5.8. Оператор проекции момента Mz. Показать, что в сферической си-
|
|
i |
|
|
стеме координат оператор |
Mz |
|
. Использовать формулы, |
|
связывающие декартовы и сферические координаты, а также вы-
ражение для оператора в декартовой системе координат.
Mz
Р е ш е н и е. Запишем с помощью рис. 5.6 связь между декартовыми и сферическими координатами:
x r sin cos,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y r sin sin, |
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z r cos . |
|
|
|||
С помощью этих формул выразим ча- |
|
|||||||||||||||
стную производную по через произ- |
|
|||||||||||||||
водные по х, у, z. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
. |
(2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
y |
z |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вычислив |
частные |
производные |
|
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||
x , y и z формул (1), под- |
|
|||||||||||||||
ставим результаты в (2) и получим |
|
Рис. 5.6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r sin sin |
|
r sin cos |
|
0. |
(3) |
|
|
|
|
||||
|
|
x |
y |
||||
Из сопоставления с (1) видим, что (3) можно переписать так:
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
. |
(4) |
||
|
x |
y |
||||
Правая часть этого равенства полностью совпадает с выражением
в скобках формулы (5.11). Дальнейшее очевидно.
5.9.Вращательный спектр молекулы. Оценить, сколько линий со-
держит чисто вращательный спектр молекулы CO, момент инерции которой I 1,44 10 39 г cм2 и собственная частота колебаний 4,1 1014 с–1?
Р е ш е н и е. Искомое число линий должно быть равно числу вращательных уровней между нулевым и первым возбужденным колебательными уровнями (v 0 и v 1), интервал между которыми согласно (4.23) равен h . Задача, таким образом, сводится к опре-