Материал: Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с
80 |
Глава 3 |
|
|
лю и противоположны по направлению. Итак, решение вопроса
сводится к нахождению ~. p
Для этого найдем сначала скороcть vC Ц-системы. По определению,
v C |
m1 v1 m2 v2 |
. |
|
(1) |
||
|
|
|||||
|
|
m1 m2 |
|
|
||
В нашем случае v2 0, следовательно |
|
|
||||
vC m1v1/(m1 m2). |
|
(2) |
||||
|
|
|
~ |
v1 – vC, откуда сле- |
||
Скорость частицы массы m1 в Ц-системе v1 |
||||||
дует с учетом (2), что |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
v1 m1v1/(m1 m2). |
|
|
||||
Импульс этой частицы в Ц-системе |
|
|
||||
~ |
~ |
v1, |
|
(3) |
||
p1 |
m1v1 |
|
||||
где — приведенная |
масса |
системы из |
двух частиц, т. е. |
|||
m1m2/(m1 m2).
Подставив (3) в исходную формулу, найдем после несложных преобразований, что
~ |
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
m2 |
||||
|
|
||||||
|
2m1 K1 |
|
|
||||
3.4.При каком значении кинетической энергии K дебройлевская длина волны релятивистского электрона равна его комптоновской длине волны С?
Р е ш е н и е. Исходим из равенства С, где определяется формулой (3.1), a С — формулой (1.21). Поэтому можно записать
2 h/p 2 h/mc. |
(1) |
Из релятивистской динамики известно (П.5), что |
|
||
|
|
|
|
pc K( K 2mc2 ). |
(2) |
||
|
|
|
|
Подставив (2) в (1), получим уравнение |
|
||
K2 2mc2 K – m2c4 0, |
|
||
Волновые свойства частиц |
81 |
|
|
решение которого
K (
2 – 1)mc2.
3.5.Параллельный пучок нерелятивистских электронов, ускоренных разностью потенциалов V, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми d. Определить расстояние между соседними максимумами интерференционной картины на экране, расположенном на расстоянии l от щелей (l J d).
Р е ш е н и е. Из волновой оптики известно, что искомое расстояние x (ширина интерференционной полосы) определяется формулой
x l/d.
Подставив сюда вместо выражение (3.1) для дебройлевской длины волны, получим
2 l
x 
, d
2meV
где учтено, что кинетическая энергия электронов K eV.
3.6.Узкий пучок нерелятивистских электронов с кинетической энергией K 180 эВ падает нормально на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол 55! с направлением падающего пучка, наблюдается максимум отражения 4-го порядка. Вычислить соответствующее значение межплоскостного расстояния d. Преломления волн не учитывать.
Р е ш е н и е. Сначала изобразим схему (рис. 3.10), соответствующую условию задачи. Затем воспользуемся формулой Брэгга–Ву- льфа
2d sin n , |
(1) |
где — угол скольжения, который, как видно из рисунка, равен
/2 – /2, |
(2) |
а — дебройлевская длина волны:
2 h/ |
2mK |
. |
(3) |
Рис. 3.10
82 |
|
|
|
Глава 3 |
|
|
|||||
После подстановки (2) и (3) в формулу (1) получим |
|||||
d |
|
n |
0,206 нм, |
||
|
|
|
|||
2mK cos( /2) |
|||||
|
|
||||
где n 4 — порядок интерференционного максимума.
3.7.Преломление волн де-Бройля. Показать, что с учетом преломления формула Брэгга–Вульфа имеет вид
2d
n 2 cos 2 m ,
где d — межплоскостное расстояние, n — показатель преломления кристалла для дебройлевских волн, m — порядок интерференционного максимума, — дебройлевская длина волны.
Р е ш е н и е. Рассмотрим две интерферирующие волны, представленные лучами 1 и 2 (рис. 3.11). Из-за преломления волн угол па- 
дения не равен углу пре- 
ломления . Запишем «оптическую» разность хода лучей 
1 и 2. Как видно из рисунка,
|
|
|
она равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(ABC) n 2d cos |
(1) |
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
(эта разность хода выделена |
|
|
|
|
||
|
|
|
на рисунке жирными отрез- |
|
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ками). |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.11 |
С другой стороны, по закону |
||
|
преломления |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin n sin . |
(2) |
Условие образования интерференционного максимума — |
это |
|||
m , где m 1, 2, ... Запишем это условие с помощью (1) и (2) следующим образом:
|
sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
2dn cos 2dn 1 |
2d n |
2 |
sin 2 m . |
(3) |
||||||
n |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Согласно рис. 3.11 sin cos , поэтому формулу (3) можно записать также в виде, представленном в условии задачи.
Волновые свойства частиц |
83 |
|
|
3.8.Соотношение неопределенностей. Убедиться, что измерение x-ко- ординаты микрочастицы с помощью микроскопа (рис. 3.12) вносит неопределенность в ее импульс px та-
кую, что x px + . Иметь в виду, что разрешение микроскопа, т. е. наименьшее разрешаемое расстояние d /sin , где — длина световой волны.
Р е ш е н и е. У фотона, рассеянного на микрочастице и прошедшего через объектив О, проекция импульса px не превышает, как видно из рисунка, значения p sin hk sin ,
где k 2 / . Эта величина характеризует и
неопределенность px фотона. Но при рассеянии фотона на микрочастице последняя испытывает отдачу, в результате чего ее импульс получит такую же неопределенность px, как и фотон: px % % hk sin .
Имея, кроме того, в виду, что неопределенность координаты x микрочастицы x % d /sin , получим в результате:
x px |
|
|
|
2 |
|
||
% |
|
|
|
|
sin 2 , |
||
sin |
|
||||||
|
|
|
|||||
в чем и следовало убедиться.
3.9.Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с очень высокими «стенками». Ширина ямы l. Оценить с помощью (3.20) силу давления электрона на стенки ямы при минимально возможной его энергии.
Р е ш е н и е. В данном случае x % l. Кроме того, при минимальной энергии можно считать, что px % p. Тогда согласно (3.20) p h/l и полная энергия электрона в яме (учитывая, что потенциальная энергия здесь равна нулю) определяется как
E K |
p |
2 |
% |
2 |
. |
|
|
2ml 2 |
|||
|
2m |
|
|||
Теперь представим себе, что одну из стенок ямы отодвинули на малое расстояние dl. Это означает, что сила F, с которой электрон действует на эту стенку, совершила работу Fdl за счет убыли энергии Е:
Fdl –dE (h2/ml3) dl.
84 |
Глава 3 |
|
|
Отсюда искомая сила
Fh2/ml3.
3.10.Частица массы m движется в одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия U k x2/2 (гармонический осцил-
лятор). Оценить с помощью (3.20) минимально возможную энергию E частицы в этом поле.
Ре ш е н и е. При Е мин можно считать, что p % p и x % x. Тогда в соответствии с (3.20) p % h/ x % h/x, и мы можем запи-
сать выражение для полной энергии Е как
E K U |
p |
2 |
|
kx |
2 |
% |
|
2 |
|
kx |
2 |
. |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
2mx 2 |
2 |
|
|||||||
|
2m |
|
|
|
|
|
|
||||||
Из условия dE/dx 0 находим значение xm, при котором Е мин:
2 |
/mk. |
(2) |
xm h |
После подстановки (2) в (1) получим
Eмин % 
k/m .
Точный расчет дает величину вдвое меньшую.