Материал: Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с

70 Глава 3

рассчитать по формулам волновой оптики, если каждому электрону сопоставить дебройлевскую волну.

В явлении интерференции от двух щелей таится сама суть квантовой теории, поэтому уделим этому вопросу особое внимание.

Если мы имеем дело с фотонами, то парадокс (частица — волна) можно устранить, предположив, что фотон в силу своей специфичности расщепляется на две части (на щелях), которые затем интерферируют.

А электроны? Они ведь никогда не расщепляются — это установлено совершенно достоверно. Электрон может пройти

ляется. Вместо этого мы наблюдаем совершенно иное распределение* (рис. 3.8, б).

Не есть ли это крушение чистой логики и здравого смысла? Ведь все выглядит так, как если бы 100 100 0 (в точке P). В самом деле, когда открыта или щель 1 или щель 2, то в точку P приходит, скажем, по 100 электронов в секунду, а если открыты обе щели, то ни одного!..

Более того, если сначала открыть щель 1, а потом постепенно открывать щель 2, увеличивая ее ширину, то по здравому смыслу число электронов, приходящих в точку P ежесекундно, должно расти от 100 до 200. В действительности же — от 100 до нуля.

Если подобную процедуру повторить, регистрируя частицы, например, в точке О (см. рис. 3.8, б), то возникает не менее парадоксальный результат. По мере открывания щели 2 (при от-

*Это было установлено на эксперименте Мелленштадтом и Дюкером (1956), а также Йенсеном (1961).

крытой щели 1) число частиц в точке О растет не до 200 в секунду, как следовало бы ожидать, а до 400 !

Как открывание щели 2 может повлиять на электроны, которые, казалось бы, проходят через щель 1? Т. е. дело обстоит так, что каждый электрон, проходя через какую-то щель, «чувствует» и соседнюю щель, корректируя свое поведение. Или подобно волне проходит сразу через обе щели (!?). Ведь иначе интерференционная картина не может возникнуть. Попытка все же определить, через какую щель проходит тот или иной электрон, приводит к разрушению интерференционной картины, но это уже совсем другой вопрос.

Какой же вывод? Единственный способ «объяснения» этих парадоксальных результатов заключается в создании математического формализма, совместимого с полученными результатами и всегда правильно предсказывающего наблюдаемые явления. Причем, разумеется, этот формализм должен быть внутренне непротиворечивым.

И такой формализм был создан. Он ставит в соответствие каждой частице некоторую комплексную пси-функцию (r, t). Формально она обладает свойствами классических волн, поэтому ее часто называют волновой функцией. Но более подробно об этой функции, ее физическом смысле и уравнении, которое управляет ее поведением в пространстве и времени, речь пойдет в следующей главе.

Возвращаясь к поведению электронов при прохождении через две щели, мы должны признать: тот факт, что в принципе нельзя ответить на вопрос, через какую щель проходит электрон (не разрушая интерференционной картины), несовместим с представлением о траектории. Таким образом, электронам, вообще говоря, нельзя приписать траектории.

Однако при определенных условиях, а именно когда дебройлевская длина волны микрочастицы становится очень малой и может оказаться много меньше, например, расстояния между щелями или атомных размеров, понятие траектории снова приобретает смысл. Рассмотрим этот вопрос более подробно и сформулируем более корректно условия, при которых можно пользоваться классической теорией.

Критерий классического описания. Подобно той роли, которую играет скорость света при решении вопроса о применимости ньютоновской (нерелятивистской) механики, существует критерий, показывающий в каких случаях можно ограничиться классическими представлениями. Этот критерий связан с постоянной Планка h.

Физическая размерность h равна (энергия) (время) или (импульс) (длина) или (момент импульса). Величину с такой размерностью называют действием. Постоянная Планка является квантом действия.

Упомянутый критерий состоит в следующем. Если в данной физической системе значение некоторой характерной величины H с размерностью действия сравнимо с h, то поведение этой системы может быть описано только в рамках квантовой теории. Если же значение H очень велико по сравнению с h, то поведение системы с высокой точностью описывают законы классической физики.

Отметим, однако, что данный критерий имеет приближенный характер. Он указывает лишь, когда следует проявлять осторожность. Малость действия H не всегда свидетельствует

ополной неприменимости классического подхода. Во многих случаях она может дать некоторое качественное представление

оповедении системы, которое можно уточнить с помощью квантового подхода.

Величины макромира, имеющие размерность действия, в огромное число раз превышают квант действия h. Вот несколько примеров.

Пример 1. Небольшой маятник. Пусть средняя энергия его колебаний E 1 эрг, а период колебаний Т % 1 с. Величина с размерностью действия — это E · T. Отношение ET/h % 1026.

Пример 2. Вращающееся тело с моментом инерции I 1 г · см2 и угловой скоростью 1 рад/с. Отношение момента импульса к кванту действия I /h % 1026.

Пример 3. Небольшой гармонический осциллятор. Пусть его масса m 1 г, максимальная скорость v 1 см/с и максимальная амплитуда a 1 см. Тогда его максимальный импульс mv 1 г · см/с. Величина a · mv имеет размерность действия, и отношение amv/h 1026.

Видно, что во всех трех случаях действие H J h, а это означает, что описание движения таких систем можно уверенно проводить в рамках классической физики.

Совсем иначе обстоит дело, когда действие H становится сравнимым с h. Здесь мы вступаем в область, где действуют совершенно другие законы — законы квантовой физики. С этими законами нам и предстоит познакомиться.

§3.4. Принцип неопределенности

Вклассической физике исчерпывающее описание состояния частицы определяется динамическими параметрами, такими как координаты, импульс, момент импульса, энергия и др. Однако реальное поведение микрочастиц показывает, что существует принципиальный предел точности, с которой подобные переменные могут быть указаны и измерены.

Соотношения неопределенностей. Глубокий анализ причин существования этого предела, который называют принципом неопределенности, провел В. Гейзенберг (1927). Количественные соотношения, выражающие этот принцип в конкретных случаях, называют соотношениями неопределенностей.

Наиболее важными являются два соотношения неопределенностей.

Первое из них ограничивает точности одновременного измерения координат и соответствующих проекций импульса частицы. Для проекции, например, на ось X оно выглядит так*:

Второе соотношение устанавливает неопределенность измерения энергии, E, за данный промежуток времени t:

*Заметим, что в точном соотношении неопределенностей под x и px должны пониматься среднеквадратичные отклонения от средних значений, а справа не h и не h, а h/2. Мы не будем пользоваться точным соотношением, так как во

всех принципиальных вопросах существенно знать лишь порядок величиныx · px, а не ее точное значение.

Поясним смысл этих двух соотношений. Первое из них утверждает, что если положение частицы, например, по оси X известно с неопределенностью x, то в тот же момент проекцию импульса частицы на эту же ось можно измерить только с неопределенностью px % h/ x. Заметим, что эти ограничения не касаются одновременного измерения координаты частицы по одной оси и проекции импульса — по другой: величины х и py, y и pz и т. д. могут иметь одновременно точные значения.

Согласно второму соотношению (3.21) для измерения энергии c погрешностью E необходимо время, не меньшее, чемt h/ E. Примером может служить «размытие» энергетических уровней водородоподобных систем (кроме основного состояния). Это связано с тем, что время жизни во всех возбужденных состояниях этих систем порядка 10–8 c. Размытие же уровней приводит к уширению спектральных линий (естественное уширение), которое действительно наблюдается. Сказанное относится и к любой нестабильной системе. Если время жизни ее до распада порядка ), то из-за конечности этого времени энергия системы имеет неустранимую неопределенность, не меньшую, чем E % h/).

В дальнейшем будет показано, что во многих случаях умелое применение соотношений неопределенностей позволяет угадывать (или предсказывать) основные черты явлений.

О соотношении x p x Z . Обсудим более подробно смысл и возможности этого соотношения. Прежде всего обратим внимание на то, что оно определяет принципиальный предел неопределенностей x и px, с которыми состояние частицы можно характеризовать классически, т. е. координатой x и проекцией импульса px. Чем точнее x, тем с меньшей точностью возможно установить px, и наоборот.

Подчеркнем, что истинный смысл соотношения (3.20) отражает тот факт, что в природе объективно не существует состояний частицы с точно определенными значениями обеих переменных, x и px. Вместе с тем мы вынуждены, поскольку измерения проводятся с помощью макроскопических приборов, приписывать частицам не свойственные им классические переменные. Издержки такого подхода и выражают соотношения неопределенностей.