Материал: Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с

После того, как выяснилась необходимость описывать поведение частиц волновыми функциями, соотношения неопределенностей возникают естественным образом — как математическое следствие теории.

Считая соотношение неопределенностей (3.20) универсальным, оценим, как бы оно сказалось на движении макроскопического тела. Возьмем очень маленький шарик массы m 1 мг. Определим, например, с помощью микроскопа его положение с погрешностью x % 10–5 см (она обусловлена разрешающей способностью микроскопа). Тогда неопределенность скорости шарика v p/m % (h/ x)/m 10–19 см/с. Такая величина недоступна никакому измерению, а потому и отступление от классического описания совершенно несущественно. Другими словами, даже для такого маленького (но макроскопического) шарика понятие траектории применимо с высокой степенью точности.

Иначе ведет себя электрон в атоме. Грубая оценка показывает, что неопределенность скорости электрона, движущегося по боровской орбите атома водорода, сравнима с самой скоростью:v % v. При таком положении представление о движении электрона по классической орбите теряет всякий смысл. И вообще, при движении микрочастиц в очень малых областях пространства понятие траектории оказывается несостоятельным.

Вместе с тем, при определенных условиях движение даже микрочастиц может рассматриваться классически, т. е. как движение по траектории. Так происходит, например, при движении заряженных частиц в электромагнитных полях (в электрон- но-лучевых трубках, ускорителях и др.). Эти движения можно рассматривать классически, поскольку для них ограничения, обусловленные соотношением неопределенностей, пренебрежимо малы по сравнению с самими величинами (координатами и импульсом).

Опыт со щелью. Соотношение неопределенностей (3.20) проявляет себя при любой попытке точного измерения положения или импульса микрочастицы. И каждый раз мы приходим к «неутешительному» результату: уточнение положения частицы приводит к увеличению неопределенности импульса, и наоборот. В качестве иллюстрации такой ситуации рассмотрим следующий пример.

76 Глава 3

Попытаемся определить координату x свободно движущейся с импульсом p частицы, поставив на ее пути щель шириной b (рис. 3.9). До прохождения частицы через щель ее проекция

импульса px имеет точное значе-

ние: px 0. Это значит, что px0, но координата x частицы является совершенно неопределен-

щель, то в плоскости щели координата x будет зарегистрирована с неопределенностью x % b. При этом вследствие дифракции с наибольшей вероятностью частица будет двигаться в пределах угла 2 , где — угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Он определяется условием, при котором разность хода волн от обоих краев щели будет равна (это доказывается в волновой оптике):

bsin .

Врезультате дифракции возникает неопределенность значения px — проекции импульса, разброс которого

px % p sin .

Учитывая, что b % x и p 2 h/ , получим из двух предыдущих выражений:

x px % p 2 ,

что согласуется по порядку величины с (3.20).

Таким образом, попытка определить координату x частицы, действительно, привела к появлению неопределенности px в импульсе частицы.

Анализ многих ситуаций, связанных с измерениями, показывает, что измерения в квантовой области принципиально отличаются от классических измерений. В отличие от последних, в квантовой физике существует естественный предел точности измерений. Он в самой природе квантовых объектов и не может быть преодолен никаким совершенствованием приборов и методов измерений. Соотношение (3.20) и устанавливает один из та-

ких пределов. Взаимодействие между микрочастицей и макроскопическим измерительным прибором нельзя сделать сколь угодно малым. Измерение, например, координаты частицы неизбежно приводит к принципиально неустранимому и неконтролируемому искажению состояния микрочастицы, а значит и к неопределенности в значении импульса.

Некоторые выводы. Соотношение неопределенностей (3.20) является одним из фундаментальных положений квантовой теории. Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов, в частности:

1.Невозможно состояние, в котором частица находилась бы в состоянии покоя.

2.При рассмотрении движения квантового объекта необходимо во многих случаях отказаться от самого понятия классической траектории.

3.Часто теряет смысл деление полной энергии E частицы (как квантового объекта) на потенциальную U и кинетическую K. В самом деле, первая, т. е. U, зависит от координат, а вторая — от импульса. Эти же динамические переменные не могут иметь одновременно определенного значения.

Размер атома водорода. Прежде чем рассмотреть важный пример, относящийся к атому водорода, остановимся на вопросе, который часто вызывает недоумение. Пусть частица «заперта» в одномерной области размером l. При нахождении возможного значения минимальной энергии Eмин частицы мы обычно считаем, что импульс частицы по порядку величины равен его неопределенности, т. е. p p. На каком основании?

Чтобы понять, почему это так, представим себе, что частица в этой области имеет энергию Е > Емин. Тогда ее импульс может быть представлен как p ppq p. Теперь начнем мысленно уменьшать энергию Е, а значит и импульс pрq. При этом р не меняется, поскольку p % h/l согласно соотношению (3.20). Когда Е станет равной Емин, величина pрq обратится в нуль и останется только p. Эту величину и принимают за р. Теперь перейдем к атому водорода.

Оценим его размер и попытаемся понять, почему электрон не падает на ядро (как это можно объяснить с помощью соотношения неопределенностей).

Точное положение электрона в данном атоме запрещено принципом неопределенности: был бы бесконечно большой разброс в его импульсе. Поэтому для оценки наименьшей возможной энергии Eмин электрона в кулоновском поле ядра можно положить разброс расстояний электрона от ядра r % r иp % p. Тогда согласно (3.20) p % h/r, и энергия Е может быть представлена как

Значение r, при котором Е мин, можно найти, приравняв производную dE/dr к нулю:

Полученный результат полностью совпадает с боровским радиусом (2.23).

что также совпадает с энергией основного состояния атома водорода (2.25).

Разумеется, совпадение наших грубых оценок с точными значениями r и Е следует считать случайным. Важно лишь то, что получен верный порядок этих величин и что, основываясь на волновых представлениях, или принципе неопределенности, можно понять, почему атомный электрон не падает на ядро. Размер атома является результатом компромисса двух слагаемых энергии (3.22), имеющих противоположные знаки. Если увеличить отрицательное слагаемое (потенциальную энергию), уменьшив r, то увеличится кинетическая энергия, и наоборот.

Таким образом, соотношение неопределенностей проявляет себя в атоме подобно силам отталкивания на малых расстояниях. В результате электрон находится в среднем на таком расстоянии от ядра, на котором действие этих сил отталкивания компенсируется силой кулоновского притяжения.

Задачи

3.1.Волны де-Бройля. Какую энергию Е необходимо сообщить нерелятивистскому электрону, чтобы его дебройлевская длина волныуменьшилась в n раз?

Р е ш е н и е. Обозначим конечную дебройлевскую длину волны как . Имея в виду, что согласно (3.1) T 1/p T 1/K , запишем:

где K — первоначальная кинетическая энергия электрона. Отсюда

E K(n 2 1) 2 2 2 (n 2 1), m 2

где m — масса электрона.

3.2.Найти дебройлевскую длину волны протонов, если в однородном магнитном поле с индукцией В радиус кривизны их траектории — окружности — равен R.

Р е ш е н и е. Согласно (3.1) для этого надо сначала определить импульс протона. Воспользуемся основным уравнением динамики:

m v 2 evB. R

Отсюда p ReB, и искомая длина волны

2 h ReB.

3.3. Нерелятивистская частица массы m1 с кинетической энергией K1 налетает на покоящуюся частицу массы m2. Найти дебройлевскую

~

длину волны обеих частиц в системе их центра масс (Ц-системе).

Р е ш е н и е. Искомая длина волны согласно (3.1) определяется

~ ~ ~

как 2 h/p, где p — импульс каждой частицы в Ц-системе. На-

помним, что в Ц-системе импульсы обеих частиц равны по моду-