Материал: Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с

Глава 4

Уравнение Шредингера. Квантование

§ 4.1. Состояние частицы в квантовой теории

Рассмотрение вопроса о математическом формализме, адекватном парадоксальному поведению микрочастиц, мы начнем с выяснения принципов, на которых строится фундаментальная физическая теория. Проследим за содержанием этих принципов в классической и квантовой теории на простейшем примере движения нерелятивистской частицы в стационарном силовом поле.

Для этого должны быть определены:

1)величины, задающие состояние частицы;

2)уравнение движения, определяющее изменение состояния частицы во времени;

3)физические величины, доступные измерению, и способ получения их значений в данном состоянии (это необходимо для сравнения выводов теории с экспериментом).

Будем предполагать, что читателю достаточно хорошо известно, как это делается в классической теории. Поэтому обратимся сразу к решению этих вопросов в квантовой теории.

Для микрочастиц из-за соотношения неопределенностей классическое определение состояния частицы (координаты и импульс), вообще говоря, утрачивает смысл*. В соответствии с корпуску- лярно-волновым дуализмом в квантовой теории состояние частицы задается пси-функцией ,(r, t), которая является комплексной величиной и формально обладает волновыми свойствами.

Понимание физического смысла пси-функции пришло после того, как выяснилось, что волновые свойства характерны для отдельных частиц. Этот факт можно истолковать по идее Борна (1926) так. Движение любой микрочастицы по отдельности подчиняется вероятностным законам. Распределение вероятности, характеризующее это движение, проявляется в результате регистрации достаточно большого числа частиц. Это распределение оказывается таким же, как распределение интенсивности

*Это относится и к понятию силы, которая по определению является функцией классического состояния.

волны: там, где интенсивность волны больше, регистрируется и большее число частиц.

В квантовой теории постановка вопроса состоит не в точном предсказании событий, а в определении вероятностей этих событий. По значениям вероятностей согласно определенным правилам (см. ниже) можно найти средние случайных значений физических величин, которые и доступны эксперименту. Пси-функция ,(r, t) и является той величиной, которая позволяет находить все вероятности.

Например, вероятность нахождения частицы в интересующем нас объеме dV в момент t определяется как

где ,* — комплексно-сопряженная функция. Отсюда плотность вероятности, т. е. вероятность нахождения частицы в единице объема,

Эта величина является экспериментально наблюдаемой, в то время как сама пси-функция, будучи комплексной, не доступна наблюдению. Напомним, что в классике величины, характеризующие состояние частицы, являются принципиально наблюдаемыми.

Пси-функция, вообще говоря, определяется с точностью до произвольного постоянного множителя. Это не влияет на состояние частицы, которое она описывает. И тем не менее пси-фун- кцию выбирают так, чтобы она удовлетворяла условию нормировки*:

где интеграл берется по всему пространству или по той области, в которой , отлична от нуля. Условие нормировки (4.3) означает, что во всей области, где , − 0, частица находится с досто-

*Условие (4.3) может оказаться невозможным, например, в случае, если ,-функ- ция представляет собой плоскую волну де-Бройля, когда вероятность обнаружения частицы одинакова во всех точках пространства. Такие случаи следует рассматривать как идеализацию реальной ситуации, где частица находится в большой, но ограниченной области пространства, и тогда трудность устраняется.

верностью. Пси-функцию, удовлетворяющую условию (4.3), называют нормированной.

Принцип суперпозиции. Итак, непосредственный физический смысл имеет не сама ,-функция, а квадрат ее модуля | , |2 или ,,*. И тем не менее в квантовой теории оперируют с ,-функцией, а не с экспериментально наблюдаемой величиной | , |2. Это необходимо для истолкования волновых свойств микрочастиц — интерференции и дифракции. Ситуация здесь совершенно идентична той, какую мы имеем в волновой теории. В волновой теории принимается принцип суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей. Именно так вводятся в теорию явления интерференции и дифракции.

Подобным же образом в квантовой теории принимается как один из основных постулатов принцип суперпозиции пси-функ- ций. Если у некоторой системы возможными являются состоя-

где c1 и c2 — некоторые постоянные коэффициенты. Найдя таким образом ,, можно далее определить и плотность вероятности ,,* пребывания системы в этом состоянии.

Подтверждением принципа суперпозиции (4.4) является согласие с опытом вытекающих из него следствий.

§ 4.2. Уравнение Шредингера

Поиск уравнения, управляющего изменениями состояния системы, т. е. ее ,-функции во времени успешно был завершен Э. Шредингером (1926). Это — основное уравнение нерелятивистской квантовой теории, уравнение Шредингера. Данное уравнение было именно найдено, оно является новым фундаментальным законом, который невозможно вывести из прежних представлений и теорий. Справедливость этого уравнения установлена тем, что все вытекающие из него следствия подтверждены экспериментом.

Сформулировав это уравнение, Шредингер сразу же применил его к атому водорода и получил для уровней энергии спектр, точно совпадающий со спектром по первоначальной теории Бора и соответственно — с результатами наблюдений.

Уравнение Шредингера играет в квантовой теории такую же роль, как основное уравнение динамики (2-й закон Ньютона) в нерелятивистской механике.

Уравнение Шредингера имеет следующий вид:

где i — мнимая единица ( 1), m — масса частицы, . 2 — оператор Лапласа, U — потенциальная энергия (мы ограничимся рассмотрением потенциальных силовых полей, для которых функция U(r) не зависит явно от времени).

Обратим внимание на следующую особенность уравнения (4.5). В то время как, согласно интерпретации ,-функции, частица, как говорят, «размазана» в пространстве, потенциальная энергия U рассматривается в (4.5) как функция локализованной точечной частицы в силовом поле.

Стационарные состояния. Особую роль в квантовой теории играют стационарные состояния — состояния, в которых все наблюдаемые физические величины не меняются с течением времени. Сама ,-функция, как уже говорилось, принципиально ненаблюдаема. В стационарных состояниях она имеет вид

где функция /(r) не зависит от времени, а выражение для частоты написано согласно (3.2).

При таком виде ,-функции плотность вероятности P остается постоянной. В самом деле,

т. е. действительно, плотность вероятности P от времени не зависит.

Для нахождения функции /(r) в стационарных состояниях подставим выражение (4.6) в уравнение (4.5), и мы получим

Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний. В отличие от него, (4.5) называют временным или общим уравнением Шредингера.

В дальнейшем мы будем иметь дело только с уравнением (4.8) и будем записывать его (как это обычно принято) в виде

Еще раз напомним, что потенциальная энергия — функция U(r) —здесь определяется классически, как если бы никакими волновыми свойствами частица не обладала.

Квантование. В отличие от первоначальной теории Бора, где квантование вводилось искусственно, в теории Шредингера оно возникает автоматически. Достаточно только учесть, что физический смысл имеют лишь те решения уравнения (4.9), которые удовлетворяют естественным или стандартным условиям. Эти условия состоят в том, что пси-функция /(r) должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой (т. е. без изломов) во всем пространстве, даже в тех точках (линиях, поверхностях), где потенциальная энергия U(r) терпит разрыв. Эти условия не представляют чего-нибудь особенного. Это обычные требования, накладываемые на искомое решение дифференциального уравнения.

Решения, удовлетворяющие этим условиям, оказываются возможными лишь при некоторых значениях энергии E. Их называют собственными значениями, а функции /(r), являющиеся решениями уравнения (4.9) при этих значениях энергии, — собственными функциями, принадлежащими собственным значениям E. В этом и состоит естественный и общий принцип квантования.

Собственные значения энергии E и принимаются за возможные значения энергии в соответствующих стационарных состояниях. Эти значения энергии Е могут быть дискретными (квантованными) или непрерывными, образуя дискретный или непрерывный энергетический спектр.

В общем случае зависимости потенциальной энергии U(r) oт координат, решение уравнения Шредингера представляет собой весьма громоздкую задачу. Но если мы все же нашли это