Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

§2. Прямоуголь­ ный волновод

§ 1. Передающая линия

ля вступают друг с другом в резонанс. Но есть §5. Как наблюдать

мере один подход к теме нашей лекции.

Но можно к ней подойти и по-другому, можно сказать, что мы пока обсуждали пове­ дение волн в пустом пространстве, а теперь пришло время посмотреть, что случится, если колеблющиеся поля ограничить в одном или двух измерениях. Мы обнаружим новое инте­ ресное явление: если поля ограничить в двух измерениях и дать им свободу в третьем, они распространяются в виде волн. «Волны в вол­ новоде» и будут предметом нашей лекции.

Начнем с разработки общей теории линии передачи. Обычная линия электропередачи, которая тянется от мачты к мачте по полям и лесам, тратит часть своей мощности на излу-

221

чение, но частота здесь так мала (50—60 гц), что эти потери незаметны. От излучения можно избавиться, поместив провод в металлическую трубу, но это непрактично, потому что при таких токах и напряжениях в сети без больших, тяжелых и дорогих труб не обойтись. Так что в ходу обычно «открытые линии».

На частотах чуть повыше (порядка нескольких килогерц) излучение уже вполне заметно. Но его можно уменьшить, пользуясь «двухжильной» линией передачи, как. это делается при телефонной связи на малые расстояния. Однако при даль­ нейшем повышении частоты излучение вскоре становится не­ терпимо сильным либо за счет потерь энергии, либо из-за того, что энергия перетекает в другие контуры, где она совсем не нужна. На частоте от нескольких килогерц до нескольких тысяч мегагерц электромагнитные сигналы и электромагнит­ ная энергия обычно передаются по коаксиальным линиям, т. е. по проводу, помещенному внутрь цилиндрического «внешнего проводника», или «защиты». Хотя дальнейшие рассуждения годятся для линии передачи из двух параллельных провод­ ников любого сечения, речь будет идти о коаксиальном ка­ беле.

Возьмем простейшую коаксиальную линию, состоящую из центрального проводника (пусть это будет тонкостенный по­ лый цилиндр) и внешнего проводника — тоже тонкостенного цилиндра, ось которого совпадает с осью внутреннего провод­ ника (фиг. 24.1). Для начала представим себе, как примерно ведет себя эта линия при относительно низких частотах. Мы уже кое-что говорили о поведении при низких частотах, когда утверждали, что у двух таких проводников на каждую еди­ ницу длины приходится сколько-то там индуктивности и сколько-то емкости. И действительно, поведение любой пе­ редающей линии при низких частотах можно описать, задав ее индуктивность на единицу длины Lo и ее емкость на единицу длины С0. Тогда линию можно было бы рассматривать как предельный случай фильтра L — С (см. гл. 22, § 7). Можно создать такой фильтр, который будет имитировать линию, если последовательно соединить между собой маленькие эле­ менты индуктивности LoAx и зашунтировать их маленькими емкостями Со Ах (где Ах — элемент длины линии). Применяя

222

к бесконечному фильтру наши прежние результаты, мы бы увидали, что вдоль линии должны распространяться электри­ ческие сигналы. Но поступим иначе и вместо этого изучим свойства линии, опираясь на дифференциальные уравнения.

Предположим, мы наблюдаем за происходящим в двух соседних точках передающей линии, скажем, на расстояниях х й х -f Дх от начала линии. Обозначим напряжение между проводниками через У(х), а ток в верхнем проводнике /(х) (фиг. 24.2). Если ток в линии меняется, то индуктивность вы­ зовет падение напряжения вдоль небольшого участка ли­ нии от х до х -)- Ах

Av = У (х + Дх) — V (дг) = - LoАх JI-.

Или, беря предел при Дх-*-0, получаем

Изменение тока приводит к перепаду напряжения.

Теперь еще раз взгляните на рисунок. Если напряжение в х меняется, то должны появляться заряды, которые на этом участке передаются емкости. Если взять небольшой уча­ сток линии от х до х + Дх, то заряд на нем равен q = СоДхУ. Скорость изменения этого заряда равна CoAxdVjdt, но заряд меняется только тогда, когда ток / (х), входящий в элемент,

Так что сохранение заряда предполагает, что градиент тока пропорционален скорости изменения напряжения во времени.

Уравнения (24.1) и (24.2)—это основные уравнения ли­ нии передачи. При желании их можно видоизменить так, чтобы они учитывали сопротивление проводников или утечку зарядов через изоляцию между проводниками, но пока нам достаточно самого простого примера.

223

Оба уравнения передающей линии можно объединить, про­ дифференцировав первое по /, а второе по х и исключив V или /. Получится либо

Мы снова узнаем волновое уравнение по х. В однородной передающей линии напряжение (и ток) распространяется вдоль линии как волна. Напряжение вдоль линии будет сле­ довать закону V( x , t ) — f ( x— vt) или V{x, t) = g (x + vl)

или их сумме. А что такое здесь о? Мы знаем, что коэффи­ циент при д2/д/2—это просто l/v2, так что

I

(24.5)

VLQCQ

Покажите самостоятельно, Что напряжение для каждой волны в линии пропорционально току этой волны и что коэф­ фициент пропорциональности —это просто характеристиче­ ский импеданс г0. Обозначив через V+ и /+ напряжение и ток для волны, бегущей в направлении +*, вы должны будете получить

Равным образом, для волны, бегущей в направлении —х, по­ лучится

V- — — z j - .

Характеристический импеданс, как мы уже видели из на­ ших уравнений для фильтра, дается выражением

« . - V S <2 4 - 7 >

и поэтому есть чистое сопротивление.

Чтобы найти скорость распространения v и характеристи­ ческий импеданс z0 передающей линии, нужно знать индук­ тивность и емкость единицы длины линии. Для коаксиального кабеля их легко подсчитать. Поглядим, как это делается. При расчете индуктивности мы будем следовать идеям, изложен­ ным в гл. 17, § 8, и положим xhLP равным магнитной энер­ гии, в свою очередь получаемой интегрированием еоС2В2/2 по объему. Пусть по внутреннему проводнику течет ток /; тогда

224

dr и длины /, получаем для магнитной энергии

ь

где а й b — радиусы внутреннего и внешнего проводников. Интегрируя, получаем

у = т 5 ? " 4 - <■**>

Приравниваем эту энергию к 'kLl* и находим

Как и следовало ожидать, L пропорционально длине / ли­ нии, поэтому Ц (индуктивность на.единиицу длины) равна

Мы уже рассчитывали заряд на цилиндрическом конден­ саторе [гл. 12, § 2 (вып. 5)]. Деля теперь этот заряд на раз­ ность потенциалов, получаем

Р_ 2яе0/

° ~ In (Ь/а) *

Емкость же на единицу длины Со —это С/7. Сопоставляя этот результат с (24.10), му убеждаемся, что произведение L0C0

равно просто 1/с2, т. е. и= 1/ V Д А равно с. Волна бежит по линии со скоростью света. Нужно подчеркнуть, что этот ре­ зультат зависит, от сделанных предположений: а) что в про­ межутке Между проводниками нет ни диэлектриков, ни маг­ нитных материалов; б) что все токи текут только по поверх­ ности проводников (так это бывает в идеальных проводни­ ках). Позже мы увидим, что на высоких частотах все токи распределяются на поверхности хороших проводников, словно они идеальные проводники, так что это предположение пра­ вильно.

Любопытно, что в этих двух предположениях произведение L0C0 равно 1/с2 для любой параллельной пары проводников, даже в том случае, если, скажем, внутренний шестигранный проводник тянется как-то вдоль эллиптического внешнего. Пока сечение постоянно и между проводниками нет ничего, волны распространяются со скоростью света.

Подобных общих утверждений по поводу характеристиче­ ского импеданса сделать нельзя. Для коаксиальной линии он равен

22S