Множитель I/бос имеет размерность сопротивления и равен 120л ом. Геометрический фактор In (b/a) только логарифми чески зависит от размеров, так что коаксиальная линия (и большинство других линий), как правило, обладает характе ристическим импедансом порядка 50 ом или что-то около этого, до нескольких сот ом.
§ 2. Прямоугольный волновод
То, о чем мы сейчас будем говорить, на первый взгляд ка жется поразительным явлением: если из коаксиального ка беля убрать внутреннюю жилу, он все равно будет проводить электромагнитную энергию. Иными словами, на достаточно высокой частоте полая труба действует ничуть не хуже, чем труба, внутри которой имеется провод. Связано это с другим таинственным явлением, о котором мы уже знаем, — на высо ких частотах резонансный контур (конденсатор с катушкой) можно заменить простой банкой.
Это выглядит очень странно, если пользоваться представ лением о передающей линии, как о распределенных индук тивности и емкости. Но ведь все мы знаем, что внутри пустой металлической трубы могут распространяться электромагнит ные волны. Если труба прямая, через нее все видно1 Значит, электромагнитные волны через трубу, бесспорно, проходят. Но мы знаем также, что нет возможности передавать волны низкой частоты (переменный ток или телефонные сигналы) через одну-единственную металлическую трубу. Выходит, электромагнитные волны проходят через нее только тогда, когда их длина волны достаточно мала. Поэтому мы рассмот рим предельный случай самых длинных волн (или самйх низ ких частот), способных проходить через трубу данного раз мера. Эту трубу, служащую для прохождения волн, называют
волноводом.
Начнем с прямоугольной трубы, ее проще всего анализи ровать. Сперва изложим все математически, а потом еще раз вернемся назад и рассмотрим вопрос более элементарно. Но этот более элементарный подход легко применить лишь к прямоугольным трубам. Основные же явления в любой трубе одни и те же, так что математические доводы звучат более основательно.
Поставим перед собой следующий вопрос: какого типа волны могут существовать в прямоугольной трубе? Выберем сначала удобные оси координат: ось г направим вдоль трубы, а оси х и у —вдоль стенок (фиг. 24.3).
Известно, что когда волны света бегут по трубе, их элект рическое поле поперечно; поэтому начнем с поиска таких ре шений, в которых Е перпендикулярно г, скажем решений
226
\
Ф и г . 24.3. Выбор осей коорди нат для прямоугольного волно вода.
с одной только ^-компонентой Еу (фиг. 24.4,а). Это электри ческое поле должно как-то меняться поперек волновода; дей ствительно, ведь оно должно обратиться в нуль на сторонах, параллельных оси у: токи и заряды в проводнике устраи ваются всегда так, чтобы на его поверхности не осталось никаких касательных составляющих электрического поля. Значит, график Еу от х должен напоминать некоторую дугу (фиг. 24.4,6). Может быть, это найденная нами для полости функция Бесселя? Нет, функции Бесселя появляются только в задачах с цилиндрической симметрией. При прямоугольных сечениях волны —это обычные гармонические функции, чтонибудь вроде sin kxx.
Раз мы ищем волны, которые бегут вдоль трубы, то сле дует ожидать, что поле как функция z будет колебаться ме-
Ф и г. |
24.4. |
Электрическое поле |
в волноводе |
при некотором зна |
|
чении |
г. |
|
227
1У |
Ф и г . 24.5. Зависняосгб |
|
поля в волноводе от г. |
жду |
положительными и отрицательными |
значениями |
(фиг. |
24.5) и что эти колебания будут бежать |
вдоль трубы |
с какой-то скоростью и. Если имеются колебания с опреде ленной частотой о, то надо испытать, может ли волна менять ся по 2 как cos (a>t— k2z) или, в более удобной математиче
ской форме, как е‘<и<~*гг>. Такая зависимость от г представ ляет волну, бегущую со скоростью v = <s>!kt [см. гл. 29 (вып. 3)].
Значит, можно допустить, что волна в трубе имеет следую щую математическую форму:
E y = EQ%\x\kxx e l (а<-йгг). |
(24.12) |
Давайте-ка поглядим, можно ли при таком допущении удовлетворить правильным уравнениям поля. Во-первых, электрическое поле не должно иметь составляющих, каса тельных к проводнику. Для этого наше поле подходит; вверху и внизу оно направлено поперек стенок, а с боков равно нулю. Впрочем, для последнего необходимо, чтобы полволны sin kxx как раз укладывалось на всей ширине волновода, т. е. чтобы было
kxa = л. |
(24.13) |
Это условие определяет kx. Есть и иные возможности, напри мер кха = 2я, Зя, ... или в общем случае
kxa = nn, |
(24.14) |
где п — целое. Все они представляют различные сложные рас положения полей, но мы. дальше будем говорить о самом прос том, когда kx = я/Q, а а — внутренняя ширина трубы.
Далее, дивергенция Е в пустом пространстве внутри трубы должна быть равна нулю, потому что в трубе нет зарядов.
228
У нашего Е есть только у-компонента, но по у она не ме* няется, так что действительно V • Е = 0.
Наконец, наше электрическое поле должно согласовы ваться с остальными уравнениями Максвелла для пустого пространства внутри трубы. Это все равно, что потребовать; чтобы оно удовлетворяло волновому уравнению
дгЕу |
д2Еу |
д1Еу |
i д'Еу |
(24.15) |
|
дхг |
^‘ ~dyr ^r ~W~ |
~ ~ Ш ~ ~ |
|||
|
|||||
Нам надо проверить, подойдет ли сюда выбранная нами фор
ма (24.12). Вторая производная Еу по х просто равна —k2xEy. Вторая производная по у равна нулю, потому что от у ничего
не зависит. Вторая производная по z есть —k\Ey, -а вторая производная по t это —шгЕу. Тогда уравнение (24.15) утверж дает, что
* А + * А ~ ? £г - ° -
Если Еу не обращается всюду в нуль (этот случай нас не очень интересует), то это уравнение выполняется всегда, если
(24.16)
Число kx мы уже закрепили, так что это уравнение говорит нам, что волны предположенного нами типа возможны лишь тогда, когда kz связано с частотой со условием (24.16), т. е. когда.
(24Л7)
Волны, которые мы описали, распространяются в направле нии z с таким значением kz.
Волновое число kz, которое мы получили из (24.17), дает нам при данной частоте со скорость, с которой бегут вдоль трубы узлы волны. Фазовая скорость равна
v = -£-. |
(24.18) |
Вспомните теперь, что длина Я бегущей волны дается фор мулой Я = 2яо/со, так что kz также равняется 2я/Яг, где Kg— длина волны осцилляций в направлении г — «длина волны в волноводе». Длина волны в волноводе, конечно, отличается от длины электромагнитных волн той же частоты, но в пустом пространстве. Если длину волны в пустом пространстве обо значить Яо (что равно 2яс/а>), то (24.17) можно переписать в таком виде:
(24.19)
'* У1-(Я«/2а ?
229
,9
Ф и г. 24.6. Магнитное поле в волноводе.
Кроме электриче ских полей, существу ют и магнитные поля, которые тоже движут ся волнообразно. Мы не будем сейчас зани маться выводом выра жений для них. Ведь cJVX В = dE/dt, и ли нии В циркулируют во круг областей, где dE/dt — наибольшее,
zт. е. на поллутн между максимумом и миниму
мом Е. Петли В лежат параллельно плоскости хг и между гребнями и впадинами Е (фиг. 24.6).
§ 3. Граничная частота
Уравнение (24.16) для kz на самом деле имеет два корня — один с плюсом, другой с минусом. Ответ следует писать так:
(24.20)
Смысл этих двух знаков просто в том, что волны в волноводе могут бежать и с отрицательной фазовой скоростью (в на правлении г), и с положительной. Волны, естественно, долж ны иметь возможность бежать в любую сторону. И раз одно временно могут существовать оба типа волн, то решение в виде стоячих волн тоже возможно.
Наше уравнение для kz сообщает нам также, что высшие частоты приводят к большим значениям kz, т. е. к более ко ротким волнам, пока в пределе больших © величина к не станет равной ©/с —тому значению, которое бывает, когда волна бежит в пустоте. Свет, который мы «видим» сквозь трубу, все еще бежит со скоростью с. Но посмотрите зато, какая странная вещь получается, когда частота убывает. Сперва волны становятся все длиннее и длиннее. Но если частота © станет чересчур малой, то под корнем в. (24.20) внезапно появится отрицательное число. Это произойдет, ког-
230