Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

В и ли Е п

ШШл

г $-v- Z__ У

\~ v T -

в

внезапно изменяется повсюду от нуля до конечной величины. Но погодите! При внезапном изменении магнитного поля воз­ никают огромные электрические эффекты. (Как бы оно ни менялось, электрические эффекты возникнут.) Так что в ре­ зультате движения заряженного листа создается меняющееся магнитное поле и, следовательно, должны возникнуть элект­ рические эффекты. Если электрические поля образовались, они должны начинаться с нуля и меняться к какому-то зна­ чениюВозникнет некая производная dEfdt, которая будгг вносить вклад вместе с током / в создание магнитного поля. Так разные уравнения зацепляются друг за друга, и мы дол­ жны попытаться найти решения для всех полей сразу.

Рассматривая уравнения Максвелла порознь, нелегко сразу получить решение. Поэтому сначала мы сообщим вам ответ, а затем уже проверим, действительно ли оно удовлет­ воряет уравнениям. Ответ: Поле В, которое мы вычислили, на самом деле создается прямо вблизи листа с током (для ма­ лых х). Так и должно быть, потому что если мы проведем крошечную петлю вокруг листа, то в ней не будет места для прохождения электрического потока. Но поле В подальше (для больших х) сначала равно нулю. Оно в течение некото­ рого времени остается нулевым, а затем внезапно включается.

86

Вид сверху

Короче говоря, мы включаем ток и немедленно вблизи него включается магнитное поле с постоянным значением В; затем включенное поле В распространяется от области источника. Через некоторое время появляется однородное магнитное поле всюду, вплоть до некоторого значения х, а за ним оно равно нулю. Вследствие симметрии оно распространяется как в положительном, так и в отрицательном х-направленни.

Поле Е делает то же самое. До момента / = О (когда мы включаем ток) поле повсюду равно нулю. Затем, спустя вре­ мя /, как Е, так И В постоянны вплоть до расстояния х = vt, а за ним равны нулю. Поля продвигаются вперед, подобно приливной волне, причем фронт их движется с постоянной скоростью, которая оказывается равной с, но пока мы будем называть ее v. Изображение зависимости величины Е или В от х (как они кажутся о момент 1) показано на фиг. 18.4, а. Если снова посмотреть на фиг. 18.3 в момент 1, то мы увидим, что область между х = ±v( «занята» полями, но они еще не достигли области за ней. Мы снова подчеркиваем — мы пред­ полагаем, что лист заряжен, а следовательно, поля Е и В про­ стираются бесконечно далеко в у- и г-иаправлениях. (Мы нэ можем изобразить бесконечный лист, поэтому мы показываем лишь то, что происходит в конечной области.)

Теперь мы хотим проанализировать количественно то, что происходит. Чтобы сделать это, рассмотрим два поперечных разреза: вид сверху, если смотреть вниз вдоль оси у (фиг. 18.5), и вид сбоку, если смотреть назад вдоль оси г (фиг. 18.6). Нач­ нем с вида сбоку. Мы видим заряженный лист, движущийся вверх; магнитное поле направлено внутрь страницы для + х и

87

Чтобы применить это уравнение, посмотрим на вид сверху, изображенный на фиг. 18.5. Мы уже видели, что это уравне­ ние дает нам значение В вблизи заряженного листа. Кроме того, для любой петли, нарисованной вне листа, но позади волнового фронта, нет ни ротора В, ни j или меняющегося поля Е, так что уравнение там справедливо. А теперь посмот­ рим, что происходит в петле Гь которая пересекает волновой фронт, как показано на фиг. 18.5. Здесь нет токов, поэтому уравнение (18.11) можно записать в интегральной форме так:

Г» ВнутриГ,

Контурный интеграл от В есть просто произведение В на L, Скорость изменения потока Е возникает только благодаря продвигающемуся волновому фронту. Область внутри Г|, где Е не равно нулю, увеличивается со скоростью vL. Правая сто­ рона (18.12) тогда равна vLE. Уравнение это приобретает вид

Мы имеем решение, когда поля В и Е постоянны за фрон­ том, причем оба направлены под прямыми углами к направ­ лению, в котором движется фронт, и под прямыми углами друг к другу. Уравнения Максвелла определяют отношение Е к В. Из (18.10) и (18.13) получаем

E = vB и Е = ~ В .

Но одну минутку! Мы нашли два разных выражения для от­ ношения Е/В. Может ли такое поле, как мы описываем, дей­ ствительно существовать? Имеется лишь одна скорость v, для которой оба уравнения могут быть справедливы, а именно v = c. Волновой фронт должен передвигаться со.скоростью с. Вот пример, когда электрическое возмущение от тока распро­ страняется с определенной конечной скоростью с.

А теперь спросим, что произойдет, если мы внезапно оста­ новим заряженный лист, после того как он двигался в течение короткого времени Г? Увидеть, что случится, можно с по­ мощью принципа суперпозиции. У нас был ток, равный нулю, а затем его внезапно включали.. Мы знаем решение для этого случая. Теперь мы собираемся добавить другой ряд полей. Мы берем другой заряженный лист и внезапно начинаем его дви­ гать в противоположном направлении с той же скоростью, только спустя время Т после начала движения первого листа. Полный ток от двух листов вместе сначала равен нулю, по­ том он включается в течение времени Т, затем выключается снова, потому что оба тока погашаются. Так мы получаем прямоугольный «импульс» тока.

89

Новый отрицательный ток создает такие же поля, как и положительный, но с обратными знаками н, разумеется, с за­ паздыванием во времени Т. Волновой фронт по-прежнему движется со скоростью с. В момент времени / он достигает расстояния х — ± с ( /— Т) (см, фиг. 18.4,6). Итак, мы имеем два «куска» поля, перемещающихся со скоростью с (см. фиг. 18.4,а и б). Соединенные поля будут такими, как пока­ зано на фиг. 18.4,в. Для х > ct поля равны нулю, между л* = = c(t— Т) и.x = ct они постоянны (со значениями, которые мы нашли выше), и для x < c ( t — Т) они снова равны нулю.

Короче говоря, мы получаем маленький кусочек поля тол­ щиной сТ, который покинул заряженный лист и передви­ гается через все пространство сам по себе. Поля «оторва­ лись»; они распространяются свободно в пространстве и боль­ ше не связаны каким-то образом с источником. Куколка прев­ ратилась в бабочку!

Как же эти совокупности электрического и магнитного по­ лей могут сохранять сами себя? Ответ: За счет сочетания эффектов из закона Фарадея У X Е = —дй/dt и нового чле­ на, добавленного Максвеллом с2У X B « dE/dt. Они не могут не сохранять себя. Предположим, что магнитное поле исчезло бы. Тогда появилось бы меняющееся магнитное поле, которое создавало бы электрическое поле. Если бы это электрическое поле попыталось исчезнуть, то изменяющееся электрическое поле создало бы магнитное поле снова. Следовательно, за счет непрерывного взаимодействия — перекачивания туда и обратно от одного поля к другому — они должны сохраняться вечно. Они не могут исчезнуть *. Они сохраняются, вовлечен­ ные в общий танец — одно поле создает другое, а второе соз­ дает первое, — распространяясь все дальше и дальше в про­ странстве.

§S. Скорость света

Унас есть волна, которая уходит от материального источ­ ника и движется со скоростью с (это скорость света). Вер­ немся немного назад. Исторически не было известно, что ко­ эффициент с в уравнениях Максвелла тот же, что и скорость распространения света. Это была просто константа в уравне­

ниях. Мы назвали ее с с самого начала, так как знали, что в конце концов должно получиться. Мы не думаем, что было бы разумнее сначала заставить вас выучить формулы с раз­ ными константами, а затем вернуться обратно и подставить с

* Это не совсем так. Поля могут бить «поглощены», если попадут

90