Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

гни —это стремление добиться максимального уменьшения разности кинетической и потенциальной энергий».

Вот и все, что сказал мне мой учитель, потому что он был очень хороший учитель и знал, когда пора остановиться. Сам я, увы, не таков. Мне трудно остановиться вовремя. И по­ этому вместо того, чтобы просто разжечь в вас интерес своим рассказом, я хочу запугать вас, хочу, чтобы вам стало тошно от сложности жизни, — попробую доказать то, о чем я рас­ сказал. Математическая задача, которую мы будем решать, очень трудна и своеобразна. Имеется некоторая величина S, называемая действием. Она равна кинетической энергии ми­ нус потенциальная, проинтегрированная по времени:

и

Действие = 5 = J (к. э. — п. э.)dt. t,

Не забудьте, что и п. э. и к. э. — обе функции времени. Для любого нового мыслимого пути это действие принимает свое определенное значение. Математическая задача состоит в том, чтобы определить, для какой кривой это число меньше, чем для других.

Вы скажете: «О, это просто обычный пример на максимум и минимум. Надо подсчитать действие, продифференцировать его и найти минимум».

Но погодите. Обычно у нас бывает функция какой-то пе­ ременной и нужно найти значение переменной, при котором функция становится наименьшей или наибольшей. Скажем, имеется стержень, нагретый посредине. По нему растекается тепло и в каждой точке стержня устанавливается своя тем­ пература. Нужно найти точку, где она выше всего. Но у нас речь идет совсем об ином — каждому пути в пространстве от­ вечает свое число, и предполагается найти тот путь, для ко­ торого это число минимально. Это совсем другая область ма­ тематики. Это не обычное исчисление, а вариационное (так его называют).

В этой области математики имеется много своих задач. Скажем, окружность обычно определяют как геометрическое место точек, расстояния которых от данной точки одинаковы, но окружность можно определить и иначе: это та из кривых данной длины, которая ограничивает собою наибольшую пло­ щадь. Любая другая кривая такого же периметра ограничи­ вает площадь меньшую, чем окружность. Так что если поста­ вить задачу: найти кривую данного периметра, ограничиваю­ щую наибольшую площадь, то перед нами будет задача из вариационного исчисления, а не из того исчисления, к кото­ рому вы привыкли.

100