Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

jc + A вместо x и разложили бы f(x-f А) с точностью до пер­ вой степени Л... , словом, повторили бы все то, что мы наме­

рены сделать с TJ.

Итак, идея наша заключается в том, что мы подставляем x(t) = x{t) + ri(0 в формулу для действия

где через V{x) обозначена потенциальная энергия. Произ­ водная dxfdt — это, естественно, производная от x(t) плюс

производная от т\(t), так что для действия я получаю такое выражение:

s = I,S [ т ( - г Г + 4 т ) 2- у ^ + ^ ] Л *

Теперь это нужно расписать подетальней. Для квадратич­ ного слагаемого я получу

Но постойте-ка! Ведь мне не нужно заботиться о порядках выше первого. Я могу убрать все слагаемые, в которых есть ц2 и высшие степени, и ссыпать их в ящик под названием «вто­ рой и высшие порядки». Из этого выражения туда попадет только одна вторая степень, но из чего-то другого могут войти и высшие. Итак, часть, связанная с кинетической энергией, такова:

ближенно это будет К(х); в следующем приближении (из-за

к х и т. д.:

V4£+n) = K(x) + T1V'(i ) + -£v''W + ... .

Для экономии места я обозначил через V' производную У по*. Слагаемое с г)2 и все, стоящие за ним, попадают в категорию «второй и высшие порядки». И о них больше нечего беспо­ коиться. Объединим все, что осталось:

5== $ [ т f i f ) 2 -

и

~r\V' (х) -f (Второй и высшие порядки)] dt^

103

Если мы теперь внимательно взглянем на это, то увидим, что два первых написанных здесь члена отвечают тому дей­ ствию 5, которое я написал бы для искомого истинного

пути х. Я хочу сосредоточить ваше внимание на изменении 5, т. е. на разности между 5 и тем 5, которое получилось бы

для истинного пути. Эту разность мы будем записывать как <55 и назовем ее вариацией S. Отбрасывая «второй и высшие порядки», получаем для 6S

и

Теперь задача выглядит так. Вот передо мной некоторый интеграл. Я не знаю еще, каково это х, но я твердо знаю, что,

какую т) я ни возьму, этот интеграл должен быть равен нулю. «Ну что ж, —подумаете вы, — единственная возможность для этого —это чтобы множитель при т) был равен нулю». Но как быть с первым слагаемым, где есть dr)/dl} Вы скажете: «Если г] обращается в ничто, то и ее производная такое же ничто; значит, коэффициент при dr\/dt должен тоже быть нулем». Ну это не совсем верно. Это не совсем верно потому, что ме­ жду отклонением ц и его производной имеется связь; они не полностью независимы, потому что т;(/) должно быть нулем и при /i и при t2.

При решении всех задач вариационного исчисления всегда пользуются одним и тем же общим принципом. Вы чуть сдви­ гаете то, что хотите варьировать (подобно тому, как это сде­ лали мы, добавляя т)), бросаете взгляд на члены первого по­ рядка, затем расставляете все так, чтобы получился интеграл в таком виде: «сдвиг (т]), умноженный на что получится», но чтобы в нем не было никаких производных от т; (никаких d-r\fdt). Непременно нужно так все преобразовать, чтобы оста­ лось «нечто», умноженное на тр Сейчас вы поймете, отчего это так важно. (Существуют формулы, которые подскажут вам, как в некоторых случаях можно это проделать без каких-либо выкладок; но они не так уж общи, чтобы стоило заучивать их;'лучше всего проделывать выкладки так, как это делаем мы.)

Как же я могу переделать член di\/dt, чтобы в нем появи­ лось »]? Я могу добиться этого, интегрируя по частям. Оказы­ вается, что в вариационном исчислении весь фокус в том и состоит, чтобы расписать вариацию S и затем проинтегриро­ вать по частям так, чтобы производные от t] исчезли. Во всех задачах, в которых появляются производные, проделывается такой же фокус.

104