Если нам известно магнитное поле В одной катушки, мы можем найти коэффициент самоиндукции, приравнивая выра жение для энергии (17.48) и V2-272. Посмотрим, что полу чится в результате для индуктивности длинного соленоида. Раньше мы видели, что магнитное поле в соленоиде одно родно и В снаружи равно нулю. Величина поля внутри равна В = nF/воС2, где п — число витков на единицу длины намотки, а / —ток. Если радиус катушки г, а длина ее L (мы считаем, что L очень велика, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами, т. е. /.> /■ ), то внутренний объем равен яг2/,. Следовательно, магнитная энергия равна
£ /= ,« £ . В’ .(Об ъ е м ) = ^ . ^ 1 ,
что равно !/25 7 2. Или
(17.50)
Г л а в а
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
|
§2. Что дает |
|
добавка |
В этой главе мы вернемся к полной системе |
|
из четырех уравнений Максвелла-, которые мы |
§4. Передвигаю |
приняли как отправной пункт в гл. 1 (вып. 5). |
|
До сих пор мы изучали уравнения Максвелла |
щееся поле |
небольшими частями, кусочками; теперь пора |
§З.Все о класси |
§ 1. Уравнения Максвелла |
|
|
ческой физике |
уже прибавить последнюю часть и соединить §5.Скорость света их все воедино. Тогда мы будем иметь полное
и точное описание |
электромагнитных |
полей, §6. Решение |
|||
которые могут изменяться со временем произ |
уравнений |
||||
вольным образом. Все сказанное в этой главе, |
Максвелла; |
||||
если даже оно и будет противоречить чему-то |
потенциалы |
||||
сказанному ранее, правильно, а то, что гово |
и волновое |
||||
рилось ранее в этих случаях, неверно, потому |
уравнение |
||||
что все высказанное ранее применялось к та |
|
||||
ким частным случаям, как, скажем, |
случаи |
|
|||
постоянного тока или фиксированных зарядов. |
|
||||
Хотя всякий раз, когда мы записывали уравне |
|
||||
ние, мы весьма старательно указывали ограни |
|
||||
чения, легко позабыть все эти оговорки и |
|
||||
слишком хорошо заучить ошибочные уравне |
|
||||
ния. Теперь мы можем изложить всю истину, |
|
||||
без всяких ограничений (или почти без них). |
|
||||
Все |
уравнения |
Максвелла |
записаны в |
|
|
табл. 18.1 как словесно, так и в математиче |
|
||||
ских символах. Тот факт, что слова эквива |
|
||||
лентны уравнениям, должен быть сейчас вам |
|
||||
уже знаком — вы должны уметь переводить |
|
||||
одну форму в другую и обратно. |
|
|
|||
Первое уравнение —дивергенция Е равна |
|
||||
плотности заряда, деленной на |
ео, — правиль |
|
|||
но всегда. Закон Гаусса справедлив всегда как |
|
||||
в динамических, так и в статических полях. |
|
||||
Поток Е через любую замкнутую поверхность |
|
||||
пропорционален заключенному внутри заряду. |
|
||||
Третье |
уравнение — соответствующий |
общий |
|
||
77
Таблица 18.1 • КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
У р ав н ен и я М а к св е л л а
и. ▼хв— g-
ш. V *B = O
‘ Сохранение заряда
(следует из I и IV) v _____ i£-
v |
1 |
d t |
|
|
З а к о н силы |
|
|
||
F — <7(В + v X |
В ) |
|
||
Закон движения |
mv |
|||
d |
, v |
в |
р - |
|
— |
(р) = |
F, где |
||
at |
|
|
|
V 1“ v2/c2 |
Гравитация
F = — G JSiSll. е
(Поток Е через замкнутую по верхность) = (Заряд внутри нее)/е0
(Интеграл от Е по замкнутому
контуру) — -jp (Поток В
сквозь контур)
(Поток В через замкнутую поверхность) = О
с2 (Интеграл от В по контуру)= = (Ток в контуре)/е0 +
+(Поток Е сквозь контур)
(Поток заряда через замкну
тую |
поверхность) = |
« — |
(Заряд внутри нее) |
(Закон Ньютона, исправленный Эйнштейном)
закон для магнитных полей. Поскольку магнитных зарядов нет, поток В через любую замкнутую поверхность всегда ра вен нулю. Второе уравнение V X Е = —dB/dt — это закон Фарадея, и обсуждался он в последних двух главах. Он тоже верен в общем случае. Но последнее уравнение содержит нечто новое. Раньше мы встречались только с частью его, ко торая годится для постоянных токов. В этом случае мы го ворили, что ротор В равен j/eoс2, но правильное общее урав нение имеет новый член, который был открыт Максвеллом.
До появления работы Максвелла известные законы элек тричества и магнетизма были такими же, как те, что мы изу чали в гл. 3—14 (вып, 5) и гл. 15—17, В частности, урав-
78
нение для магнитного , поля постоянных токов было известно только в виде
v X B = - jL .
Максвелл начал с рассмотрения этих известных законов и выразил их в виде дифференциальных уравнений, так же как мы поступили здесь. (Хотя символ V еще не был придуман-, впервые, в основном благодаря Максвеллу, стала очевидной важность таких комбинаций производных, которые мы се годня называем ротором и дивергенцией.) Максвелл тогда заметил, что в уравнении (18.1) есть нечто странное. Если взять дивергенцию от этого уравнения, то левая сторона об ратится в нуль, потому что дивергенция ротора всегда равна нулю. Таким образом, это уравнение требует, чтобы дивер: генция j также была равна нулю. Но если дивергенция j равна нулю, то полный ток через любую замкнутую поверх ность тоже равен нулю.
Полный ток через замкнутую поверхность равен уменьше* нию заряда внутри этой поверхности. Он наверняка не может быть всегда равен нулю, так как мы знаем, что заряды могут
перемещаться из одного места в другое. Уравнение |
|
------ff- |
(18.2) |
фактически есть наше определение J. Это уравнение выра жает самый фундаментальный закон —сохранение электри ческого заряда: любой поток заряда должен поступать из ка кого-то запаса. Максвелл заметил эту трудность и, чтобы из бежать ее-, предложил добавить dE/dt в правую часть урав нения (18.1); тогда он и получил уравнение IV в табл. 18.1:
c=VX B = - i + f .
Во времена Максвелла еще не привыкли мыслить в тер минах абстрактных полей. Максвелл обсуждал свои идеи с помощью модели, в которой вакуум был подобен упругому телу. Он пытался также объяснить смысл своего нового урав нения с помощью механической модели. Теория Максвелла принималась очень неохотно, во-первых, из-за модели, а, вовторых, потому, что вначале не было экспериментального подтверждения. Сейчас мы лучше понимаем, что дело в са мих уравнениях, а не в модели, с помощью которой они были получены. Мы можем только задать вопрос, правильны ли $ти уравнения или они ошибочны. Ответ дает эксперимент. И уравнения ^Максвелла были подтверждены в бессчетных экспериментах. Если мы отбросим все строительные леса, которыми пользовался Максвелл, чтобы построить уравнения,
7»
мы придем к заключению, что прекрасное здание, созданное Максвеллом, держится само по себе. Он свел воедино все законы электричества и магнетизма и создал законченную и прекрасную теорию.
Давайте покажем, что добавочный член имеет тот самый вид, который требуется, чтобы преодолеть обнаруженную Максвеллом трудность. Взяв дивергенцию его уравнения (IV в табл. 18.J), мы должны получить, что дивергенция правой части равна нулю:
V — + |
V’4 r = 0- |
(18-3) |
во |
of |
|
Во втором слагаемом можно переставить порядок дифферен цирования по координатам и времени, так что уравнение мо жет быть переписано в виде
V -j + e0|- V - E = 0. |
(18.4) |
Но, согласно первому из уравнений Максвелла, дивергенция
Еравна р/ео. Подставляя это равенство в (18.4), мы придем
куравнению (18.2), которое, как мы знаем, правильно. И на оборот, если мы принимаем уравнения Максвелла (а мы при нимаем их потому, что никто никогда не обнаружил экспе римента, который опроверг бы их), мы должны прийти к вы воду, что заряд всегда сохраняется.
Законы физики не дают ответа на вопрос: «Что случится, если заряд внезапно возникнет в этой точке, какие будут при этом электромагнитные эффекты?» Ответ дать нельзя, по тому что наши уравнения утверждают, что такого не проис ходит. Если бы это случилось, нам понадобились бы новые законы, но мы не можем сказать, какими бы они были. Нам не приходилось наблюдать, как ведет себя мир без сохране ния заряда. Согласно нашим уравнениям, если вы внезапно поместите заряд в некоторой точке, вы должны принести его туда откуда-то еще. В таком случае мы можем говорить о том, что произошло.
Когда мы добавили новый член в уравнение для ротора Е, мы обнаружили, что им описывается целый новый класс яв лений. Мы увидим также, что небольшая добавка Максвелла к уравнению для V X В имеет далеко идущие последствия. Мы затронем лишь некоторые из них в этой главе.
§2. Что дает добавка
Вкачестве нашего первого примера рассмотрим, что про исходит со сферически симметричным радиальным распреде лением тока. Представим себе маленькую сферу с нанесен ным на ней радиоактивным веществом. Это радиоактивное
во