Ф и г . 18,1, Каково магнит ное поле сферически сим метричного тока?
/
/ V
вещество испускает наружу заряженные частицы. (Мы мо жем представить также большой кусок желе с маленьким отверстием в центре, в которое с помощью шприца впрыски ваются какие-то заряды и из которого заряды медленно про сачиваются.) В любом случае мы имели бы ток, который повсюду направлен по радиусу наружу. Будем считать, что величина его одинакова во всех направлениях.
Пусть полный заряд внутри сферы произвольного радиуса г есть Q(r). Если плотность радиального тока при таком же радиусе равна j (г), то уравнение (18.2) требует, чтобы Q уменьшалось со скоростью
^ |
- = - 4 я Г’/(г). |
(18.5) |
Спросим теперь о |
магнитном поле, создаваемом |
токами |
в этом случае. Предположим, мы начертили какую-то петлю Г на сфере радиуса г (фиг. 18.1). Сквозь петлю проходит ка кой-то ток, поэтому можно ожидать, что магнитное поле цир кулирует в направлении, указанном на фигуре.
И сразу возникает затруднение. Как может поле В иметь какое-то особое направление на сфере? При другом выборе петли Г мы бы заключили, что ее направление прямо проти воположно указанному. Поэтому возможна ли какая-либо циркуляция В вокруг токов?
Нас спасают уравнения Максвелла. Циркуляция В зави сит не только от полного тока, проходящего сквозь петлю Г, но и от скорости изменения со временем электрического по тока через нее. Должно быть так, чтобы эти две части как раз погашались. Посмотрим, получается ли это.
81
Электрическое поле на расстоянии г должно быть равно Q{r)jAnw2, пока, как мы предположили, заряд распределен симметрично. Поле радиально, и скорость его изменения тогда равна
дЕ _ |
I |
dQ |
(18.6) |
|
d t |
4ne^r2 |
d t * |
||
|
Сравнивая это с (18.5), мы видим, что для любого расстояния
В уравнении IV (табл. 18.1) оба члена от источника пога шаются и ротор В равен всегда нулю. Магнитного поля в на шем примере нет.
В качестве второго нашего примера рассмотрим магнитное поле провода, используемого для зарядки плоского конден сатора (фиг. 18.2). Если заряд Q на пластинах со временем изменяется (но не слишком быстро), ток в проводах равен dQfdt. Мы ожидаем, что этот ток создаст магнитное поле, ко торое окружает провод. Конечно, ток вблизи провода должен создавать обычное магнитное поле, оно не может зависеть от того, где идет ток.
Предположим, мы выбрали петлю Г| в виде окружности с радиусом г (фиг. 18.2,а). Контурный интеграл от магнит
ного поля будет равен току /, деленному на воЛ |
Мы имеем |
2яг В = - ^ г . |
(18.8) |
Все это мы получили бы для постоянного тока, но резуль тат не изменится, если учесть добавку Максвелла, потому что для плоской поверхности 5 внутри окружности электри ческого поля нет (считая, что провод очень хороший провод ник). Поверхностный интеграл от <?Еjdt равен нулю.
Предположим, однако, что теперь мы медленно продви гаем кривую Tj вниз. Мы будем получать всегда тот же самый
Ф и г . 18.2. Магнитное поле вблизи заряжаемого конденсатора.
82
результат .до тех пор, пока не нарисуем кривую вровень с пла стинами конденсатора. Тогда ток / будет стремиться к нулю. Исчезнет ли при этом магнитное поле? Это было бы очень странно. Давайте поглядим, что говорит уравнение Максвелла для кривой Г, которая представляет собой окружность ра диуса г, плоскость которой проходит между пластинами кон денсатора (фиг: 18.2,6). Контурный интеграл от В вокруг Г есть 2ягВ. Он должен быть равен производной по времени потока Е, проходящего сквозь плоскую поверхность круга Si. Этот поток Е, как мы знаем из закона Гаусса, должен быть равен произведению 1/ео на заряд Q на одной из пластин конденсатора. Мы имеем
Л |
“' * - т г ( £ ) - |
<18-9> |
Это очень хорошо. |
Результат тот же, что |
мы нашли |
в (18.8). Интегрирование по меняющемуся электрическому полю дает то же магнитное поле, что и интегрирование по току в проводе. Конечно, как раз об этом и говорит уравнение Максвелла. Легко видеть, что так должно быть всегда, если применить наши рассуждения к двум поверхностям St и Sf, ограниченным одной и той же окружностью Ti на фиг. 18.2,6.
Сквозь |
Si |
проходит ток I, но |
нет электрического |
потока. |
Сквозь |
|
нет тока, но есть |
электрический поток, |
меняю |
щийся со скоростью //е0. То же ноле В получится, если мы применим уравнение IV (табл. 18.1) к каждой поверхности.
Из нашего обсуждения Добавки, введенной Максвеллом, у вас могло сложиться впечатление, что она добавляет не много— просто подправляет уравнения в согласии с тем, что мы уже ожидали. Это верно, пока мы рассматриваем урав нение IV само по себе, ничего особенно нового не появляется. Слова само по себе, однако, весьма важны. Небольшое изме нение, введенное Максвеллом в уравнение IV в сочетании с другими уравнениями, на самом деле дает много нового и важного. Но прежде чем заняться этим вопросом, поговорим подробнее о табл. 18.1.
§3. Все о классической физике
Втабл. 18.1 сведено все, что знала фундаментальная классическая физика, т. е. та физика, которая была известна
до 1905 г. В одной этой таблице есть все. С помощью этих уравнений можно понять все достижения классической фи зики.
Прежде всего мы имеем уравнения Максвелла, записан ные как в расширенном виде, так и в короткой математиче ской форме. Затем есть сохранение заряда, которое даже
вз
записано в скобках; потому что сохранение заряда можно вы вести из имеющихся полных уравнений Максвелла. Так что в таблице имеются даже небольшие излишки. Дальше мы записали закон для силы, поскольку все имеющиеся элект рические и магнитные поля ничего не говорят нам до тех пор, пока мы не знаем, как они действуют на заряды. Однако, зная Е и В, мы можем найти силу, действующую на объект с зарядом q, который движется со скоростью V. Наконец, имеющаяся сила ничего не говорит нам, пока мы не знаем, что происходит, когда сила ускоряет что-то; нам необходимо знать закон движения, который говорит, что сила равна ско рости изменения импульса. (Помните? Об этом говорилось в начале курса.) Мы даже включили эффекты теории отно-
сительности, записав импульс в виде р = щ v /V l — v2jc2. Но если мы действительно хотим законченности, нам сле
дует добавить еще один закон — закон тяготения Ньютона, и мы поставили его в конце.
Итак, в одной небольшой таблице мы собрали все фунда ментальные законы классической физики, даже хватило ме ста выписать их словами и еще с некоторым излишком. Это великий момент. Мы покорили большую высоту. Мы на вер шине К-2 *, мы почти подготовлены покорить теперь Эверест,
т.е. квантовую механику.
Восновном мы пытались научиться понимать эти уравне? ния. А теперь, когда мы собрали их воедино, мы собираемся разобраться, что означают эти уравнения, что нового скажут они о том, чего мы еще не поняли. Мы много потрудились, чтобы вскарабкаться к этой точке. Это потребовало больших усилий, а теперь мы собираемся начать приятное путешест вие— спуск с горы в долину, там мы увидим все, чего мы до стигли.
$ 4. Передвигающееся поле
А теперь о новых следствиях. Они возникают из сопостав ления всех уравнений Максвелла. Сначала давайте посмот рим, что произошло бы в особенно простом случае. Предпо ложим, что изменяется только одна координата у всех вели чин, т. е. рассмотрим задачу одного измерения.
Случай этот показан на фиг. 18.3. Перед нами заряженный лист, помещенный на плоскости уг. Сначала он неподвижен, а затем мгновенно приобретает скорость и в направлении у и движется с этой постоянной скоростью. Вас может беспо коить присутствие такого «бесконечного» ускорения, но фак-
* К-2 — вторая по высоте вершина мира в северо-западных отрогах Гкмалаев, называемых Каракорум. — Прим, ред.
84
Ф и г . 18.3. Бесконечная заряженная плоскость неожи- данно приводится в поступательное движение.
Возникают магнитное и электрическое поля. pacnpocтpaняю^ щисся от плоскости с постоянной скоростью.
тически это не имеет значения; просто представьте себе, что скорость достигает значения и очень быстро. Итак, мы вне запно получаем поверхностный ток / (/ — ток на единицу ши рины в 2 -направлении). Чтобы упростить проблему, предпо ложим, что имеется еще неподвижный лист, заряженный про тивоположно и наложенный на плоскость yz, так что электро статические эффекты отсутствуют. Представим себе также (хотя на фигуре мы показали лишь то, что происходит в ко нечной области), что лист простирается до бесконечности в направлениях ± у и ± 2 . Другими словами, здесь мы имеем случай, когда тока нет, а затем внезапно появляется одно родный лист с током. Что же произойдет?
Мы знаем, что, когда имеется лист с током в положитель ном (/-направлении, возникнет магнитное поле, направленное в отрицательном 2 -направлении при х > 0 и в положитель ном 2-направлении при х < 0. Мы могли бы найти величи ну В, используя тот факт, что контурный интеграл от магнит
ного |
поля |
будет равен току на e<>c2. Мы получили бы, что |
В = |
//2еоС2 |
(поскольку ток I в полосе шириной да равен /да, |
а контурный интеграл от В есть 2Вда).
Так мы определяем поле вблизи листа для малых значений х, но, поскольку мы считаем лист бесконечным, хотелось бы получить с помощью тех же рассуждений магнитное поле подальше (для больших значений х). Однако это означало бы, что в момент, когда мы включаем ток, магнитное поле
85