Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

инт егралу от rfsi • d s2 • (1/ги).

Предположим теперь, что нам нужно было бы пропустить ток через катушку 2 и нас интересует, чему равна э. д. с. в катушке /. Мы вычислили бы магнитное поле, которое по­ всюду пропорционально току /2. Поток сквозь катушку 1 за­ висел бы от геометрии, но был бы пропорционален току /2. Поэтому э. д. с. в катушке 1 снова была бы пропорциональна dli/dt. Мы можем записать

(17.27)

Вычисление Щг было бы труднее, чем те вычисления, ко­ торые мы проделали для ЭД21. Мы не будем сейчас им зани­ маться, потому что дальше в этой главе мы покажем, что ЗИи обязательно равно SDl2i.

Поскольку поле любой катушки пропорционально текуще­ му в ней току, такой же результат получился бы и для любых двух катушек из проволоки. Выражения (17.26) и (17.27) при­ обрели бы одинаковую форму, и только постоянные SWi2 и SDlat были бы другие. Их значения будут зависеть от формы ка­ тушек и их относительного положения.

Предположим, нам нужно найти коэффициент взаимной индукции между двумя произвольными катушками, например показанными на фиг. 17.9. Мы знаем, что общее выражение для э. д. с. в катушке / можно записать так:

о»

где В— магнитное поле, а интеграл берется по поверхности, ограниченной контуром 1. В гл. 14, § 1 (вып. 5) мы видели, что поверхностный интеграл от В можно свести к контурному интегралу от векторного потенциала. В нашем случае•

• n da = ф А • cfS[, (и <i)

где А— векторный потенциал, a ds\ — элемент цепи 1. Кон­ турный интеграл берется вдоль контура 1, поэтому э. д. с.

67

Теперь предположим, что векторный потенциал цепи 1 воз­ никает за счет токов в цепи 2. Тогда его можно записать как контурный интеграл по контуру цепи 2:

ds2до точки на контуре 1, в которой мы вычисляем векторный потенциал (см. фиг. 17.9). Комбинируя (17.28) и (17.29), можно выразить э. д. с. в цепи I как двойной контурный ин­ теграл:

В этом выражении все интегралы берутся по неподвижным контурам. Единственной переменной величиной является ток /г, который не зависит от переменных интегрирования. По­ этому его можно вынести за знак интеграла. Тогда э. д. с. можно записать как

<//2

121 Г '

где коэффициент Шц равен

< 1 7 - 3 0 >

0 ) (2)

Из этого интеграла очевидно, что 3JIi2 зависит только от гео­ метрии цепей; он зависит от некоторого среднего расстояния между двумя цепями, причем в среднее с наибольшим весом входят параллельные отрезки проводников двух катушек. Нашу формулу можно использовать для вычисления коэффи­ циента взаимной индукции любых двух цепей произвольной формы. Кроме того, она показывает, что интеграл для ЗЛ|2 тождествен с интегралом для S&fei. Таким образом, мы пока­ зали, что оба коэффициента одинаковы. Для системы только с двумя катушками коэффициенты Ш\% и SK2i часто обозна­ чают символом 2R без значков и называют просто коэффи­ циентом взаимной индукции:

Зй12 = аК21 = ЗЙ.

€8

§ 7. Самоиндукция

При обсуждении индуцированных э. д. с. в двух катушках на фиг. 17.8 и 17.9 мы рассмотрели лишь случай, когда ток проходит либо в одной катушке, либо в другой. Если токи имеются одновременно в обеих катушках, то магнитный по­ ток, пронизывающий каждую катушку, будет представлять сумму двух потоков, существующих и по отдельности, по­ скольку к магнитным полям применим принцип суперпозиции. Поэтому э. д. с. в каждой катушке будет пропорциональна не только изменению тока в другой катушке, но и изменению тока в ней самой. Таким образом, полную э. д. с. в катушке 2 следует записать в виде *

(17.31)

Аналогично, э. д. с. в катушке 1 будет зависеть не только от изменяющегося тока в катушке 2, но и от изменяющегося тока в ней самой:

Коэффициенты 5Й22 и 2Лц всегда отрицательны. Обычно пи­ шут

где &\ и З ’з называют коэффициентами самоиндукции двух катушек (или индуктивностями).

Конечно, э. д. с. самоиндукции будет существовать даже для одной катушки. Любая катушка сама по себеобладает коэффициентом самоиндукции S?, и ее э. д. с. будет пропор­ циональна скорости изменения тока в катушке. Обычно счи­ тают, что э. д. с. и ток одной катушки положительны, если они направлены одинаково. При этом условии для отдельной

Знак минус указывает на то, что э. д. с. противодействует изменению тока, ее часто называют «обратной э. д. о .

Поскольку любая катушка обладает самоиндукцией, про­ тиводействующей изменению тока, ток в катушке обладает своего рода инерцией. Действительно, если мы хотим изменить ток в катушке, мы должны преодолеть эту инерцию, при­ соединяя катушку к какому-то внешнему источнику, напри-

ф ЗнакЭД|2 и ЯЯ21 в (17.31) и (17.32) зависит от произвола в выборе положительного направления токов в обеих катушках.

09

Ф и г . 17JO. Ц епь с ист очником напряж ения и индукт ивност ью (а) и а н а ло ги чн а я ей м еха н и ческа я си - стема (б ).

а

о

мер батарее или генератору (фиг. 17.10,а). В такой цепи ток / связан с напряжением У соотношением

Это соотношение имеет форму уравнения движения Нью­ тона для частицы в одном измерении. Поэтому мы можем ис­ следовать его по принципу «одинаковые уравнения имеют одинаковые решения». Таким образом, если поставить в со­ ответствие напряжение У от внешнего источника приложен­ ной внешней силе F, а ток / в катушке скорости v частицы, то коэффициент индукции катушки 2 будет соответствовать массе m частицы* (фиг. 17.10,6).

Т аблица 17.1 • СОПОСТАВЛЯЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

* Кстати, это не единственный способ установления соответствия между механическими и электрическими величинами.

70