Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

б) Найти матрицу оператора		**	в собственном
б) Найти матрицу оператора	A		в собственном
ортонормированном базисе.

4.При каких условиях диагональная матрица будет ортогональной?

5.Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей A (искомый базис определѐн неоднозначно):

		11	2	8						17		8	4
1)	A	2	2	10		;	2)		A		8	17	4 .
		8	10	5						4		4	11
							Ответы
			3	6				83	59		45
1.	1)		3	6	;	2)	107		83		67	;
1.	1)		1	3	;	2)	107		83		67	;
								14	10		3
			14	8				8
	3)		11	2	6			6 .
	3)		11		6			6 .
			11	6			2	6
			11	6				6
				3 2		2		12			1	1	1
2.	1)	D= 12				0		12 ,D*= 0 0 0 ;
			12			2		3 2			1	1	1
			12			2		3 2
			0	1		0				0	2	3	0
										0			0

	2)	D= 0 0 3 ,							D*= 1 0				12 .
			0	0		0				0	4		0
											4	3



3.	а)	e 1=(2/3,2/3,1/3);							e 2=(2/3,-1/3,-2/3);

121

e 3=(1/3,-2/3,2/3);

		9	0		0
	б)	0	18		0 .
		0	0		9
4.	Диагональные элементы равны 1.
	2 3			13				2 3			9	0	0
	2			2				1
5.1) e1	2	, e2		2	3	,	e3	1	, D=		0	9	0 ;
5.1) e1	3	, e2				,	e3	3	, D=		0	9	0 ;
	3							3
	13			2 3				2 3			0	0	18
	13			2 3				2 3
	1			1				2 3
	2				18			2 3			9	0	0
	1			1				2
2) e1	1	, e2		1			, e3	2		,D=	0	9	0 .
2) e1	2	, e2				18	, e3	3		,D=	0	9	0 .
								3
											0	0	27
	0			4				1			0	0	27
								1
								3
						18		3
						18
		7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
	Ранее нам часто приходилось рассматривать
однородный		многочлен первой степени									от	n	переменных

a1x1+a2x2+ +anxn, который называется линейной формой этих переменных.

Обобщением линейной формы n переменных являются так называемые квадратичные формы, которые тесно связаны с изучением кривых и поверхностей второго порядка в n мерном евклидовом пространстве.

Общее уравнение таких кривых и поверхностей в декартовых координатах содержит сумму квадратичной формы, линейной формы и некоторой постоянной, причѐм преобразованиям переменных и связанным с ними преобразованиям квадратичной и линейной формы

122

соответствуют преобразования поворота и параллельного переноса системы координат, что используется для исследования кривых и поверхностей второго порядка и приведения их уравнений к каноническому (простейшему) виду.

7.1. Квадратичная форма и еѐ матричная запись

Квадратичной формой переменных x1,x2, ,xn

называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных, т.е.:

n	n
L(x1, x2 ,.., xn )	aij xi x j , где aij=aji.
i 1	j 1

Матрица A={aij} называется матрицей квадратичной формы L(x1,x2, ,xn) в заданном базисе. Она является симметричной.

Например, квадратичная форма при n=2 принимает вид

L(x1,x2)=a11x12+2a12x1x2+a22x22.

Действительно, по определению, имеем

2	2		= a11x12+a12x1x2+a21x2x1+a22x22 =
L(x1,x2)=	a x x	j	= a11x12+a12x1x2+a21x2x1+a22x22 =
	ij i	j
i 1	j 1
			= a11x12+2a12x1x2+a22x22.
Если ввести матрицы A= a11				a12	, X= x1	, то
			a21	a22	x2

L(x1,x2)=x1(a11x1+a12x2)+x2(a21x1+a22x1)=XTAX.

Таким образом, квадратичная форма при n=2 представлена в виде произведения матриц:

L(x1,x2)=XTAX.

Покажем, что эта формула справедлива и в общем случае. Действительно, введем матрицу из коэффициентов формы:

123

		a11	a12	a1n
A=		a21	a22	a2 n	.
A=					.

		an1	an2 ann
Очевидно, что если дана квадратичная форма, то матрица A
(симметрическая) известна.
x1			a11 x1	a12 x2 ...	a1n xn
Пусть X= x2 , тогда AX= a21 x1				a22 x2 ...	a2n xn

xn			an1 x1	an 2 x2 ...	ann xn
и
				a11x1 ...	a1n xn
XTAX=(x1 x2			xn)		=
				an1x1 ...	ann xn
=(a11x1+ +a1nxn)x1+(a21x1+ +a2nxn)x2+ +
	+(an1x1+ +annxn)xn =
=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+ +2a1nx1xn+a22x22+ +annxn2=
n	n
=		aij x1x2 = L(x1,x2, ,xn).
i 1	j 1
Итак, для любой квадратичной формы в заданном
базисе имеет место формула:
		L(x1,x2,		,xn)=XTAX.		(7.1)

Мы будем рассматривать только вещественные квадратичные формы (aij - вещественные числа).

7.2. Преобразование квадратичной формы

Очевидно, что при изменении базиса будет меняться и матрица квадратичной формы. Пусть в Еn заданы два базиса:


B: e1	, e2	,..., en	и B': e1	,e2	,...en	. Тогда для квадратичной формы в

124

базисе В имеет место формула:

L(x1,x2, ,xn)=XTAX.

Найдем вид квадратичной формы в базисе В'. Обозначим через С матрицу перехода от базиса В к В'. Тогда из (3.7) имеем:

X=CX', XT=(CX')T=(X')TCT.

Используя (7.1) получаем:

L(x'1, x'2, ,x'n)=(X')T CTACX'=(X')TА'X',

где А'=CTAC.

Таким образом, в новом базисе квадратичная форма примет вид:

L(x'1,x'2, ,x'n)=(X')TA'X'.

7.3 Приведение квадратичной формы

кканоническому виду (сумме квадратов)

Выберем такой новый базис, чтобы матрица A' стала в нѐм диагональной. Это возможно, так как матрица A - вещественная и симметрическая.

Известно, что в этом случае базис должен быть образован из собственных векторов матрицы A, а матрица A' в этом базисе имеет вид:

1	0	0
1
0	2	0		(	i ij ) ,
A'=				(	i ij ) ,

0	0		n
			n

где i - собственные значения (вещественные) матрицы A, а

	0,i	j
ij=	1,i	j .

Тогда преобразованная квадратичная форма принимает вид:

n	n
L(x'1,x'2, ,x'n)=	i ij xi x j ,
i 1	j 1

или

125

Смотрите также:

[Ageev_E.P.]_Neravnovesnaya_termodinamika_v_vopros(BookSee.org)
[Template] Тестові завдання з дисципліни Господарське право П,Пк-81
[Методичка] Остеология
00539
02.03
0501 Конунников ЛР1-1
1
10-2_ЛР
10176245_831175obrazovat
10Лекция 10