Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

( x , y )=x1y1+x2y2+ +xnyn,

Таким образом, т.е. в

ортонормированном базисе скалярное произведение двух любых элементов равно сумме произведений соответствующих координат этих элементов.

	Выясним смысл координат элемента
	Выясним смысл координат элемента							x относительно
базиса				По	условию
базиса	e1	,e2	,..., en .	По	условию	x	=x1 e	1+x2 e 2+	+xn e n.

Умножим скалярно обе части этого равенства на элемент e k

(любой из системы e1				,e2 ,..., en ). Используя аксиомы скалярного

произведения и определениe ортонормированного базиса, получаем:

	n			n
							xk .
x,ek		xi ,ei	,ek		xi ei	,ek	xk .
	i 1		i	1

Таким образом, координаты элемента x в ортонормированном базисе равны скалярному произведению этого элемента на соответствующие базисные элементы.

Эти координаты часто называют проекциями элемента на соответствующие базисные элементы. Рассмотрим теперь в n - мерном евклидовом пространстве En совершенно произвольный (вообще говоря, не ортонормированный) базис

f1, f2 ,..., fn .

Рассуждая аналогично предыдущему случаю, получим,

что в произвольном базисе f1, f2 ,..., fn скалярное произведение

двух любых элементов:
	=x1
x	=x1	f 1+x2 f 2+ +xn f n
и

y	=y1	f 1+y2 f 2+ +yn f n
определяется равенством:
			n		k
						,
	x, y				aik xi yk	,
			i 1	i	1
в котором матрица	(aik)		(i,k=1,2, ,n)			имеет	элементы

111

aik=( f i, f k). Отсюда следует, что для того чтобы в данном

базисе f1, f2 ,..., fn евклидова пространства En скалярное

произведение двух элементов было равно сумме произведений соответствующих координат этих элементов, необходимо и

достаточно, чтобы базис f1, f2 ,..., fn был ортонормированным.

Упражнения.

1.Пусть X =(x1,x2) и Y =(y1,y2) - произвольные векторы арифметического пространства R2. Показать, что скалярное произведение в R2 можно определить следующими

способами:

a)	( X	,Y ) = 2x1y1+5x2y2;

б)	( X	,Y ) = x1y1+x1y2+x2y1+x2y2.

	Вычислить скалярное произведение векторов:

X	=(1,-2) и Y	=(5,1) каждым из указанных способов.

2.Доказать, что в пространстве n многочленов

степени не выше n скалярное произведение многочленов: p(t)=a0+a1t+ +antn

q(t)=b0+b1t+ +bntn

можно определить способами:
а)	(p,q)=a0b0+a1b1+ +anbn;
		n
б)	(p,q)=	p(tk )q(tk ) , t1,t2,	,tn - произвольные
		k 1
попарно различные действительные числа.
Вычислить		скалярное произведение многочленов
p(t)=1+t+t2	и q(t)=t-2t2+3t3 каждым		из указанных способов

(n=4), если в случае б) t1= -2, t2= -1, t3=1, t4=2.

3.Проверить ортогональность следующих систем векторов в евклидовом пространстве Rn и дополнить их до

ортогональных базисов:

1)	e 1=(1,-2,1,3),	e 2=(2,1,-3,1)

112

2)e 1=(1,1,1,1,1), e 2=(1,0,0,1,-2), e 3=(2,1,-1,0,2)


3)	e 1=(2/3,1/3,2/3),	e 2=(1/3,2/3,-2/3)

4)	e 1=(1,1,1,2),	e 2=(1,2,3,-3).

4.Доказать, что в вещественном евклидовом

пространстве обратная: два тогда, когда:

справедлива теорема Пифагора, а также ей

вектора x и y ортогональны тогда и только

| + |2=| |2+| |2. x y x y

				Ответы.
1.	а)	0;	б)	-6.
2.	а)	-1;	б)	24.
3.	1)
3.	1)	e 3=(-4,2,-1,3), e 4=(2,4,3,1).
	Указание.		Для	определения		вектора		e 3=(x1,x2,x3,x4)
достаточно		найти		какое-нибудь		решение			системы
относительно			неизвестных		x1,x2,x3,x4		двух		линейных

уравнений		( e 3,	e 1)=0,	( e 3,	e 2)=0.	Для	определения			e 4
аналогичная система состоит из трех уравнений.

	2)	e 4=(1,-1,1,-1,0),			e 5=(0,5,1,-4,-2),

	3)	e 3=(2/3,-2/3,-1/3),

	4)	e 3=(1,-2,1,0), e 4=(25,4,-17,-6).

6. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 6.1. Понятие сопряженного оператора.

Его свойства

113

Будем	рассматривать линейные	операторы		в
конечномерном	евклидовом пространстве	En. Оператор		*
конечномерном	евклидовом пространстве	En. Оператор	A	:

En En называется сопряженным к линейному оператору A ,

если для любых		и		из En выполняется соотношение:
если для любых	x	и	y	из En выполняется соотношение:
							*
			( A x		, y )=( x	, A	y ).

Легко убедиться в том, что оператор A *, сопряженный к

линейному оператору A , сам является линейным оператором. Действительно:

( A x ,

y 2)= ( A x

, y 1)+ (

A x

, y 2)=

* y

1)+

* y

= ( x

, A

( x

, A

2)=( x ,

(

y 2)),

Это соотношение справедливо для любых x

y 1, y 2

и любых

чисел и .

Каждый

линейный

оператор

A имеет

Теорема.

единственный сопряженный.

Отметим следующие свойства сопряженных операторов.

1.I* = I,

2.( A + B )*= A *+ B *,

3.	(	*	*
		A ) =	A ,

4.( A *)*= A ,

5.( A B )*= B * A *

Доказательства свойств 1-4 элементарны и мы предлагаем провести их самостоятельно.

Докажем свойство 5. Действительно, по определению

произведения операторов имеем ( A ) x = A ( x ). Используя

B B

теперь определение сопряженного оператора получаем

следующую цепочку соотношений:

* *

(( A B ) x

, y )=( A ( B x ), y )=( B x

, A

y )=( x

,( B

) y ).

* *

Таким образом, (( A

B ) x

, y )=( x

,( B

) y ), а это означает, что

оператор B * A * является сопряженным к оператору A B .

114

Если

оператор

ортонормированном

базисе

евклидова

пространства

имеет

матрицу

A=(aij), то

сопряженный оператор

в том же базисе имеет матрицу

A*=AT. Справедливость утверждения проверить самим.

базисе

Пример.

Линейный

оператор A : E3

B'=( e

'1, e '2, e '3) имеет матрицу:

1 .

Известно,

что

e1 = e 1+2 e

2+ e 3,

= e

1+ e

2+2 e 3,

= e

1+ e 2

базис B=( e1

, e2

, e3 ) ортонормирован. Найти

в базисе B'.

матрицу сопряженного оператора A

Прежде всего проверим, будет ли ортонормированным

базис B':

e2 = 1+2+2 = 5

Таким образом, базис B' не является ортонормированным, а следовательно, чтобы воспользоваться утверждением о связи

матриц оператора A и A *, надо найти матрицу оператора A в

ортонормированном базисе B, по полученной матрице найти
матрицу AB*, а затем, используя формулы перехода, найти
матрицу AB'*. Итак, имеем:
		1	1	1
TB B		2	1	1 .
		1	2	0
Тогда:
	1	2	2	0
T 1	1	1	1	1 ,

	2
	2	3	1	1
		3	1	1

115

Смотрите также:

[Ageev_E.P.]_Neravnovesnaya_termodinamika_v_vopros(BookSee.org)
[Template] Тестові завдання з дисципліни Господарське право П,Пк-81
[Методичка] Остеология
00539
02.03
0501 Конунников ЛР1-1
1
10-2_ЛР
10176245_831175obrazovat
10Лекция 10