Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Воронежский государственный технический университет

Е.Г.Глушко, А.П.Дубровская, Л.Д.Кретова, Н.Б.Ускова

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2004

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы методы линейной алгебры находят все большее применение при рассмотрении многочисленных прикладных вопросов. Поэтому основные вопросы линейной алгебры включены в программу по математике для технических вузов.

Пособие составлено в виде лекций, объединенных по темам, читавшихся авторами в течение ряда лет в ВГТУ. Объем излагаемого материала соответствует времени, отведенному на изучение раздела «Линейная алгебра», читаемого в рамках математических дисциплин студентам первого курса инженерно-технического профиля.

Тема «Матрицы» включает действия над матрицами, понятие и вычисление ранга матрицы. Во 2-м разделе рассматриваются методы решения и исследования систем линейных уравнений. Далее, в 3-м разделе вводится понятие линейного пространства, базиса и размерности линейного пространства, изучается преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Следующая тема посвящена изучению линейных операторов, построению матрицы линейного оператора в заданном базисе, действиям над линейными операторами, рассматривается вопрос нахождения собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

В 5-м разделе более подробно изложены вопросы, касающиеся вещественного евклидового пространства и линейных, самосопряженных операторов. В заключение дается теория квадратичных форм и ее применение к приведению уравнений и поверхностей второго порядка к каноническому виду.

Каждая тема иллюстрируется примерами, поясняющими применение основных теоретических результатов. В конце каждой темы предложены задачи и упражнения для самостоятельного решения.

3

1.МАТРИЦЫ

1.1. Основные определения

Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:

am1 am2 amn

Числа aij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n) называются элементами

матрицы A, причем первый индекс указывает номер строки, а второй номер - столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

В дальнейшем матрицу А будем сокращѐнно

обозначать символами А=(аij)m,n или А=(аij) Рассмотрим некоторые частные виды матриц.

Если m n , то А называется квадратной матрицей. Матрица размера 1xn, содержащая только одну строку,

называется матрицей - строкой, а матрица размера - mx1 -

матрицей - столбцом.

Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой и обозначается О.

Квадратная матрица, у которой все отличные от нуля элементы находятся на главной диагонали, называется диагональной. Используя символ Кронекера:

4

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей и обозначается:

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие еѐ определитель, который обозначается detA=|A| и вычисляется по известному правилу разложения определителя по элементам строки или столбца.

Очевидно, что определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали, а определитель единичной матрицы равен единице.

Если detA 0, то квадратная матрица называется

невырожденной, в противном случае - вырожденной.

Две матрицы А=(аij) и B=(bij) одинакового размера называются равными, если их соответствующие элементы равны, т.е. аij = bij i,j.

1.2. Действия над матрицами

Суммой А+В матриц А=(аij) и B=(bij) одинакового размера mxn, называется матрица С=(сij), того же размера,

умножения на число подчиняются хорошо известным из

5