Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Данная поверхность является однополосным гиперболоидом с

полуосями 2,4,2 2 .

В рассмотренном примере уравнение не содержало первых степеней текущих координат, поэтому не требовалось делать параллельного переноса системы координат.

Пример. Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

	2 x 2	+ x2 -4x1x3-4x2x3+4x1+2x2-4x3=16.
	1	2
Решение.		Воспользуемся					результатами предыдущего

примера.	Найдем			собственные				векторы e1	, e2	, e3	,
соответствующие собственным числам 1,								2, 3:
					=(2,-2,1),
			e1		=(2,-2,1),
					=(2,1,-2),
			e2		=(2,1,-2),
					=(1,2,2).
				e3	=(1,2,2).

Тогда новый базис из ортов e1						, e2	, e3 принимает вид:
		e 0	=(2/3,-2/3,1/3),
		1
		0	=(2/3,1/3,-2/3),
		e	=(2/3,1/3,-2/3),
		2
			0	=(1/3,2/3,2/3).
		e		=(1/3,2/3,2/3).
		3

Следовательно, матрица перехода к новому базису:

	2 / 3		2 / 3	1/ 3
T	2	/ 3	1/ 3	2 / 3 .
	1/	3	2 / 3	2 / 3

Тогда X=TX',т.е.

136

x	2			x		2			x		1		x

1	3				1	3				2	3			3
x		2			x		1			x		2		x .

1	3				1	3				2	3			3
x	1		x			2		x			2		x

3	3				1	3				2	3			3

Подставив выражение старых координат через новые в группу членов первой степени, получим:

4x1+2x2-4x3=6 x2 .

Следовательно, уравнение данной поверхности в базисе

0	0		0	будет записано так:
e	, e	, e		будет записано так:
1	2	3
					4 x 2		+ x 2		-2 x				2 +6 x				2		=16.
					1		2					3					2
Выделяя полный квадрат по x2 , имеем:
					4 x 2 +[ x 2 +6 x							2	+9]-2 x						2 =25,
					1		2					2					3
откуда окончательно получим:
						x 2		(x	3)2							x	2
						1		2								3			1
					25 4				25					25 2					1
					25 4				25					25 2
		Данная			поверхность									является						однополостным
гиперболоидом с полуосями										5	, 5 ,				5			и центром, смещенным
									2
														2
														2

в точку (0,-3,0).

Упражнения.

1. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму, заданную в евклидовом пространстве E3,

к каноническому виду. Написать этот канонический вид.

а) L(x1,x2,x3)=6x12+5x22+7x32-4x1x2+4x1x3;

б) L(x1,x2,x3)=x12+x22+5x32-6x1x2+6x1x3-6x2x3;

в) L(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3;

137

г) L(x1,x2,x3)=17x12+14x22+14x32-4x1x2-4x1x3-8x2x3.

2. При каких значениях параметра квадратичная форма будет положительно определенной.

а) L(x1,x2)= x12+2bx1x2+cx224x1x2;

б) L(x1,x2,x3)=5x12+x22+ x32+4x1x2-2x1x3-2x2x3.

3. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить эту кривую.

а)	9x12-4x1x2+6x22+16x1-8x2-2=0;
б)	x12-2x1x2+x22-10x1-6x2+25=0;
в)	5x12+12x1x2-22x1-12x2-19=0;
г)	4x12-4x1x2+x22-6x1+3x2-4=0;
д)	2x12+4x1x2+5x22-6x1-8x2-1=0;
е)	x12-4x1x2+4x22-4x1-3x2-7=0.

4. Привести к каноническому виду уравнение поверхности

а) 7x12+6x22+5x32-4x1x2-4x2x3-6x1-24x2+18x3+30=0;

б)2x12-7x22-4x32+4x1x2-16x1x3+20x2x3+60x1-12x2+12x3-90=0;

в)2x12+2x22-5x32+2x1x2-2x1-4x2-4x3+2=0;

г)2x12+2x22+3x32+4x1x2+2x1x3+2x2x3-4x1+6x2-2x3+3=0;

д)4x12+x22+4x32-4x1x2-8x1x3+4x2x3-28x1+2x2+16x3+45=0;

е)2x12+5x22+2x32-2x1x2-4x1x3+2x2x3+2x1-10x2-2x3-1=0.

138

Ответы.

			1		2		1					2
1.	а) T		1		2		2						1 ;L( x , x , x							)=3 x				2 +5 x		2 +9 x			2 ;


			3														1	2	3				1		2			3
			3		1		2					2
					1		2					2
			1				1							1
			1	3			1	6						1	2
			1				1							1											2			2		2
б)T																	,L( x1, x2 , x3 )=3 x1									+6 x2			-2 x3		;
б)T					3			6							2		,L( x1, x2 , x3 )=3 x1									+6 x2			-2 x3		;
					3			6							2
			1				2								0
				3				6							0
				3				6
			1				1							1
			1	3			6							1	2
			1				1							1											2	2			2
в) T																	, L( x1, x2 , x3 )=5 x1									- x2		- x3		;
в) T				3			6								2		, L( x1, x2 , x3 )=5 x1									- x2		- x3		;
				3			6								2
			1				2							0
				3			6							0
				3			6
	1		1		2		2
г)T	1		2		1		2			, L( x , x , x								=9 x 2			+18 x 2 +18 x						2 .
г)T			2		1		2			, L( x , x , x								=9 x 2			+18 x 2 +18 x						2 .
	3														1	2	3			1					2	3
	3		2		2		1
2.а)		При				>0 положительно определена.
б)		При			>2.
							x 2		x 2
3.а)		Эллипс					1							1.
3.а)		Эллипс												1.
							2				2
							2
	4		2	,			1							2	,					2			1		;
0		,				e1					,					e2						,
	5		5
							5							5						5				5
							5							5						5				5
б) Парабола x 2
б) Парабола x 2							4			2x				,
					2							1

139

0 2 , 1						,							1							2						,								1			1				;
								e1									,											e2								,

													2									2												2			2
													2									2												2			2
												x 2							x			2
в) Гипербола													1							2						1 .
в) Гипербола													4							9						1 .
													4							9
0 1, 1													3									2												2					3
						,	e1											,										, e2									,							;

													13									13												13					13
													13									13												13					13

г)				Параллельные прямые x																															5		,
г)				Параллельные прямые x																																	,
																															1				2
																																			2
		3						3			,															2				1			,						1				2			,		или в старых
0					,									e1															,					e2								,
		5						10
																										5				5										5				5
																										5				5										5				5
переменных: 2x1-x2+1=0, 2x1-x2-4=0;
										x 2				x	2
д) Эллипс										1				2						1,
д) Эллипс								35 6					3536							1,
								35 6					3536
	7		1										2									1												1			2
0		,				,		e1								,												, e2							,					;
	6		3
													5										5											5			5
													5										5											5			5
е) Парабола x 2															1					x		,
е) Парабола x 2																				x		,
								2							5					1
0 3 , 2						,									2											1				,					1								2		;
									e1												,											e2						,

															5												5								5								5
															5												5								5								5
															x 2									x		2				x	2
4. а)				Эллипсоид											1											2				3				1,	0		1, 2 ,								1			,
4. а)				Эллипсоид											2										1					2 3				1,	0		1, 2 ,								1			,
															2										1					2 3
		1				2		2												2					1					2							2						2		1
e1				,			,				,		e2										,				,						, e3						,					,					;
e1		3		,		3	,	3			,		e2							3			,		3		,			3			, e3				3		,				3	,	3				;
		3				3		3												3					3					3							3						3		3
																																															x	2		x	2
б)		Гиперболический																									параболоид																				1			2				2x3 ,
б)		Гиперболический																									параболоид																		2				1					2x3 ,
																																													2				1
0 1, 2 , 3															2							1				2								1			2						2						2			2		1
										, e1										,					,					, e2					,					,					, e3						,		,		;
										, e1					3					,		3			,	3				, e2				3	,		3			,			3		, e3				3		,	3	,	3	;
															3							3				3								3			3						3						3			3		3

140

Смотрите также:

[Ageev_E.P.]_Neravnovesnaya_termodinamika_v_vopros(BookSee.org)
[Template] Тестові завдання з дисципліни Господарське право П,Пк-81
[Методичка] Остеология
00539
02.03
0501 Конунников ЛР1-1
1
10-2_ЛР
10176245_831175obrazovat
10Лекция 10