Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

i равно рангу

	n
L(x'1,x'2, ,x'n)=	x 2 .
	i i
i	1

Здесь число отличных от нуля коэффициентов матрицы A.

Итак, для того, чтобы квадратичную форму привести к каноническому виду, нужно выбрать базис, определяемый собственными векторами симметрической матрицы A.

При этом квадратичная форма приобретает вид:

L(x1,x2, ,xn)= 1x12+ 2x22+ + nxn2.

Пример. Привести к каноническому виду форму:

L(x1,x2,x3)=x12-2x22+x32+4x1x2-8x1x3-4x2x3

Решение. Составим матрицу A квадратичной формы:

			1	2	4
		A=	2	2	2 .
			4	2	1
Еѐ характеристическое уравнение:
		2		4
	1	2		4
	2	2		2	0 или (	-6)( +3)2=0.
	4	2	1
Следовательно,		1=6, 2=-3,		3=-3.
Найдем		базис из	собственных			векторов матрицы A.

Пусть = 1, тогда для нахождения координат собственного вектора имеем следующую систему уравнений:

5x1	2x2	4x3	0 ,
2x1	8x2	2x3 0 .
Предположим, x3=1, тогда
5x1 2x2 4 ,		x1	1,
x1 4x2	1,	x2	0.5 .
и собственному значению	1=6 отвечает собственный вектор

e 1={-1,-0.5,1}.

126

		Пусть		= 2, тогда получим следующее уравнение для
нахождения координат собственных векторов:
					2x1+x2-2x3=0,

Следовательно, e2					={1,0,1}, e3 ={-1,4,1}. В полученном базисе

e1	, e2	, e3	канонический вид квадратичной формы будет:
					L(x1,x2,x3)=6x'12-3x'22-3x'32.
		Квадратичная форма L(x1,x2, ,xn), определѐнная в
вещественном линейном пространстве En,							называется
положительно					(отрицательно)	определѐнной,		если
L(x1,x2,			,xn)>0 (L(x1,x2, ,xn)<0) при всех x 0, x				En.
		Ясно,		что	положительно определенная		квадратичная

форма приводится к сумме квадратов с положительными коэффициентами. Важным критерием положительной определѐнности формы является следующая

теорема (критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма L(x1, ,xn) была положительно определѐнной, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все ―угловые миноры‖ матрицы A, т.е. чтобы имели место неравенства:

	a11	a12		a11	a12	a13
				a11	a12	a13
1= a11 >0, 2=			>0, 3=	a	a	a	>0, ,	n>0
	a21	a22		21	22	23
	a21	a22		a31	a32	a33
				a31	a32	a33

Сформулируем условия отрицательной определѐнности квадратичной формы. Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определѐнной, необходимо и достаточно чтобы квадратичная форма - L(x1, ,xn) была положительно определѐнной, т.е. чтобы знаки угловых миноров матрицы A чередовались, начиная со знака минус:

		a11	a12			n
1=a11<0;	2=	a	a	>0;	3<0, , (-1)	n>0
		21	22

Пример. Проверить, что квадратичная форма

L(x1,x2,x3)=12x1x2-12x1x3+6x2x3-11x12-6x22-6x32

127

отрицательно определѐнная.
Решение.
1=-11<0;			2=	11	6	66 36 30 0	,
				11	6
				6	6
				6	6
		6	6
	11	6	6
3	6	6	3		81 0 .
3
	6	3	6

7.4. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Установим на плоскости прямоугольную декартову систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени:

a	11 x	2	+2a	x x	+a	22 x	2 +2a x		+2a x	+a=0.	(7.2)
	11 x			12 1 2		22 x	2	1 1	2 2
	1						2

Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (7.2), называется линией (или кривой) второго порядка.

Таким образом, общее уравнение кривой второго порядка имеет вид (7.2). Старшая группа членов:

	a	11 x	2 +2a		12	x x	+a	22 x	2	,
		11 x			12	1 2		22 x	2
		1							2
является	квадратичной			формой				относительно			текущих

координат.	Обозначим		через			e 1,		e 2		единичные	векторы,

направленные по осям координат. Как было показано в предыдущем параграфе, квадратичная форма, соответствующая группе старших членов в уравнении (7.2), в


некотором ортонормированном же базисе e1							,e2 приводится к
сумме квадратов		1 x 2	+	2 x 2	, где	1, 2 - собственные значения
		1		2
матрицы A	a11	a12	,			- орты соответствующих им
матрицы A	a21	a22	,	а e1	,e2	- орты соответствующих им
	a21	a22

собственных векторов.

128

Теперь, используя	формулы		перехода от	координат

вектора в старом базисе	( e 1,	e 2)	к координатам	этого же

), X=TX'’, получаем следующее

вектора в новом базисе ( e

уравнение кривой второго порядка:

1 x

2 x

+2(a

+a t

) x

+2(a t

+a t

) x

+a=0. (7.3)

2 21

1 12

2 22

Здесь

t11

t12

- матрица перехода от старого базиса к

t21

t22

новому, т.е. матрица, столбцами которой являются координаты


ортов		( e1	,e2	)	собственных векторов матрицы	A в базисе

e	1, e 2.	Это			уравнение уже не содержит	произведения

координат и, следовательно, может быть приведено к каноническому виду путѐм выделения полного квадрата по x1

и x2 . Итак, исследование кривых второго порядка, заданных

общим уравнением, проводится по следующей схеме: 1.Записывают симметрическую матрицу

соответствующую группе старших членов уравнения. 2.Находят собственные значения и собственные

векторы этой матрицы.

3.Вводят новые координаты, взяв в качестве нового базиса орты собственных векторов матрицы A. Введение нового базиса равносильно повороту системы координат на некоторый угол .

4.После введения нового базиса, при котором исчезнут произведения текущих координат, общее уравнение кривой примет вид (7.3).

5.Выполняя параллельный перенос координатных осей нового базиса, получаем каноническое уравнение кривой второго порядка.

Определить новое начало координат при параллельном переносе можно, выделив полные квадраты по x1 и x2 . В полученном каноническом уравнении возможны следующие

129

случаи:
1)	1	2>0.							В этом случае мы имеем уравнение
эллипса			(действительного или мнимого).
2)	1	2<0.							В				этом			случае						мы						имеем уравнение
гиперболы			(или						пара прямых, если свободный член
канонического									уравнения равен нулю).
3)	1=0 или								2=0.					В этом случае мы имеем уравнение
параболы.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение
кривой x1x2=a и построить эту кривую.
Решение.
1.Записываем															симметрическую																	матрицу,
порождающую квадратичную форму A																											0			1/ 2 .
																							1/ 2							0
2. Находим собственные значения и собственные
векторы этой матрицы:
		1
		1
															1											1					1
		2							0 ; 2						1	0 ;										1		;			1	.
		1							0 ; 2					4		0 ;						1	2					;	2	2		.
																						1							2


		2

Для нахождения e1									,e2				составляем системы уравнений:
					1		l				1		m 0 ,				1		l				1		m 0 ,
							l						m 0 ,						l						m 0 ,
		2						1	2				1			и	2				2		2				2			.
				1						1						и		1						1						.
				1		l				1		m 0 ,						1		l				1	m 0 .
						l						m 0 ,								l					m 0 .
		2					1		2				1				2				2		2				2
В первой системе, полагая m1=1, получаем l1=1, и,
														0		1				1
следовательно, e =(1,1) ; e																	,						.
следовательно, e =(1,1) ; e																	,						.
		1											1			2					2
																2					2

Аналогично, во второй системе полагая m2=1, получаем l2= -1, следовательно,

130

Смотрите также:

[Ageev_E.P.]_Neravnovesnaya_termodinamika_v_vopros(BookSee.org)
[Template] Тестові завдання з дисципліни Господарське право П,Пк-81
[Методичка] Остеология
00539
02.03
0501 Конунников ЛР1-1
1
10-2_ЛР
10176245_831175obrazovat
10Лекция 10