Документ: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П, страницы 106-110

Таким образом, пространство C[a,b] с так определенным

скалярным	произведением		является	бесконечномерным
евклидовым пространством.
Пример 3. Пусть Ln - n-мерное линейное пространство
упорядоченных совокупностей			n вещественных чисел.		Для

любых двух	элементов	x =(x1,x2,..,xn) и		y =(y1,y2,..,yn)	этого

пространства определим скалярное произведение равенством:


( x	, y )=x1y1+x2y2+ +xnyn .	(5.1)

Покажем справедливость всех четырех аксиом. Первая аксиома очевидна. Для установления справедливости аксиомы 2 и 3 воспользуемся определением операций сложения элементов и умножения их на числа. Действительно:

	(x1,x2,	,xn)+(y1,y2,	,yn)=( x1+y1,x2+y2,			,xn+yn)
		(x1,x2, ,xn)=(		x1, x2, ,	xn)
Справедливость		аксиомы	4	следует	из	того,	что
		+xn2 всегда является неотрицательным
( x	, x )=x12+x22+	+xn2 всегда является неотрицательным
числом и обращается в нуль лишь при условии x1=x2=							=xn=0.

Рассматриваемое здесь евклидово пространство обозначают En.

5.2. Простейшие свойства произвольного

евклидова пространства

Теорема.

Для

любых

двух

векторов

и

x

y

произвольного

евклидова

пространства

справедливо

неравенство:

2

( x ,

y ) ( x , x )( y , y ),

называемое неравенством Коши-Буняковского.

Доказательство. Пусть

- любое вещественное число.

Тогда

- элемент этого же

евклидова пространства, а

x

- y

следовательно, по аксиомам 1-4,

2

0

( x

- y ,

x

- y )=

( x

, x )-2

( x

, y )+( y

, y )

Так как

если

-

ненулевой

вектор,

то

по

( x , x )>0,

x

необходимому и достаточному условию неотрицательности квадратного трехчлена (дискриминант 0), имеем:

106

			2
D=( x			, y ) -( x	, x )( y		, y ) 0.
		2
Отсюда следует ( x	, y )		( x , x )( y		, y ).

Теорема доказана.

Линейное пространство L называется нормированным, если выполнены следующие два требования:

I.Имеется правило, по которому каждому элементу

x пространства L ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной) указанного элемента и

обозначаемое символом x .

II. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:

1.

>0, если

- ненулевой элемент;

=0, если

x

- нулевой элемент.

x

2.

, для любого

L и вещественного

x

.

3.Для любых двух элементов x и y справедливо

неравенство:

x

y

x

y

(неравенство треугольника или неравенство Миньковского).

Теорема.

Всякое

евклидово

пространство является

нормированным,

если

в

нем

норму любого элемента

x

определить равенством

x

(x, x) .

Доказательство. Аксиомы 1 и 2 для нормы вытекают из аксиом 4,1 и 3 скалярного произведения. Для доказательства аксиомы 3 воспользуемся неравенством Коши-Буняковского и аксиомами скалярного произведения. Тогда:

x y

(x y, x y)

(x, x) 2(x, y)

(x, x) 2 (x, x)

( y, y)

2

[ (x, x)

( y, y)]

(x, x)

( y, y)

xy .

107

Теорема доказана.

Теперь в любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя

произвольными

векторами

и

этого

пространства. По

x

y

аналогии с

векторной

алгеброй,

назовѐм

углом

между

элементами

косинус которого определяется

x и

y тот угол,

соотношением:

cos

(x, y)

.

(5.2)

x

y

(x, x) ( y, y)

Мы предполагаем, что

изменяется в пределах от 0 до

. Это определение угла корректно, так как дробь в правой части равенства (5.2) по модулю не превосходит единицы, что

легко следует из неравенства Коши-Буняковского.
Два произвольных элемента		и		евклидова
	x		y

пространства E будем называть ортогональными,		если

произведение этих элементов ( x	, y ) равно нулю. Очевидно,
что в этом случае косинус угла
	между элементами x	и y
будет равен нулю.
5.3. Ортонормированный базис конечномерного
евклидова пространства. Его свойства
В 3.4 было введено понятие базиса n - мерного линейного

пространства. В линейном пространстве все базисы являлись равноправными. В евклидовом пространстве существуют специальные, особо удобные базисы, называемые ортогональными базисами. Эти базисы играют ту же роль, что и декартов прямоугольный базис в аналитической геометрии.


Будем говорить, что n элементов e1	,e2	,..., en

n - мерного евклидова пространства E образуют ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна единице, т.е. если:

108

			1	при i	k,
	( e i, e k)=		0	при i	k .
Это определение	корректно,			так как элементы
Это определение	корректно,			так как элементы		e1	,e2	,..., en
образуют один	из	базисов		рассматриваемого n-мерного

евклидова пространства En. Действительно, покажем, что эти

элементы линейно независимы, т.е., что равенство:

1+

1 e

2 e 2+ +

n e n=0

возможно, лишь когда

1=

2=

=

n=0.

Пусть

e k - любой из n элементов. Умножим последнее

равенство скалярно на

e k, тогда:

1( e 1, e k)+

2( e 2 e k)+...+ k( e k, e k)+...+

+

n( e n, e k)=

k=0.

Теорема.

Во

всяком

n

-

мерном

евклидовом

пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки

нашего курса и мы его здесь не приводим.

Заметим только, что согласно определению размерности

в пространстве En

найдется n линейно независимых векторов

f1, f2 ,..., fn . По этим векторам можно построить

n векторов

e1

,e2

,..., en , линейно выражающихся

через

f1, f2 ,..., fn

и

образующих ортонормированный базис.

Таким образом, может быть получен алгоритм

построения

шаг

за

шагом

по

данной

системе

линейно

независимых

элементов

f1,

f2 ,...,

fn

системы

n

попарно

ортогональных элементов e1,e2

,..., en ,

норма

каждого

из

которых равна единице.

Указанный

алгоритм

обычно

называют

процессом

ортогонализации линейно независимых элементов f1, f2 ,..., fn .

Подробнее с ним можно ознакомиться в [1], [5].

Конечно, в каждом n - мерном пространстве En существует много ортонормированных базисов. Примером

109

ортонoрмированного базиса может служить декартов прямоугольный базис евклидова пространства всех свободных векторов или совокупность n элементов:

	,0),
e 1=(1,0,0,	,0),
	,0),
e 2=(0,1,0,	,0),
...
	,1)
e n=(0,0,0,	,1)

евклидова пространства En всех упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (5.1). Проверить это предлагается читателю самостоятельно.

Рассмотрим

некоторые свойства ортонормированного

базиса:

и

- два произвольных элемента n - мерногo

1.Пусть x

y

евклидова пространства

En,

а

-

произвольный

e1,e2

,..., en

ортонормированный базис этого пространства.

Найдем выражение скалярного произведения ( x ,

y )

этих

элементов

через

их

координаты относительно базиса

e1

,e2

,..., en .

Обозначим через x1,x2,

,xn и y1,y2, ,yn - координаты

x

и

y

соответственно в базисе e1

,e2 ,..., en

, т.е.:

x

=x1 e

1+x2 e

2+ +xn e n,

y

=y1 e

1+y2 e

2+ +yn e n.

Тогда:

2+

( x

, y )=(x1 e 1+x2 e 2+

+xn e n)(y1 e

1+y2 e

+yn e n)=

n

=

xiei

,

yk ek

xi yk (ei

, ek ) =

i 1

k

1

i 1

k 1

=x1y1+x2y2+ +xnyn,

так как все слагаемые, содержащие скалярные произведения


( e i, e k)=0 при i		k, и ( e i, e k)=1, при i=k.

110

Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Смотрите также: