Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П
|
4 |
5 |
2 |
|
1 |
3 |
1 |
|
ж) A 5 7 3 ; |
з) A |
3 |
5 |
1 |
; |
|||
|
6 |
9 |
4 |
|
3 |
3 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
и) A |
4 |
4 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
2. Выяснить, являются ли матрицами простой структуры следующие матрицы
|
1/ 3 4 / 3 |
2 / 3 |
|
8 |
15 |
|
36 |
|
||
а) 4 / 3 |
1/ 3 2 / 3 |
; |
б) 8 21 |
|
46 |
; |
||||
|
2 / 3 2 / 3 |
2 / 3 |
|
|
5 |
12 |
|
27 |
|
|
5 |
2 |
3 |
4 |
7 |
5 |
|
|
4 |
2 |
5 |
в) 4 |
5 |
4 ; г) |
4 5 |
0 |
; д) 6 |
4 |
9 . |
|||
6 |
4 |
4 |
1 |
9 |
4 |
|
|
5 |
3 |
7 |
3. Выяснить, какие из заданных матриц линейных операторов можно диагонализировать переходом к новому базису. Найти этот базис и соответствующую ему
диагональную форму |
|
матрицы. |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
а) |
0 |
2 |
2 |
4 |
; |
б) |
0 |
0 |
1 |
0 |
; |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
2 |
|
|
6 1 |
7 |
1 |
|
|
101
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
в) 1 1 1 ; |
|
|
|
|
|
г) 5 |
|
3 3 ; |
|||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
2 |
|
2 |
2 |
0 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
0 |
|
|
д) |
2 1 |
2 ; |
|
|
е) |
2 2 |
|
2 . |
|||
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
0 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
|
|
|
|
|
1. |
а) |
|
1=2, |
2=1, |
3=-1, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
e 1=(2,1,-2), |
e 2=(1,0,-1), |
e |
3=(0,0,1); |
|
|
||||
|
б) |
|
1=5, |
2=-1, |
|
3=4; |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
1= 2=1, |
3=-1, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2=(-1,0,1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
e 1=(2,1,0), |
e |
e 3=(3,5,6); |
|
|
|||||
|
г) |
|
1=-5, 2=1, |
|
3=3, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
e 1=(0,0,1), |
e 2=(1,-1,0), |
e 3=(1,1,0); |
|
|
|||||
|
д) |
|
1=2, |
2= 3=1, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
e 1=(-1,1,1), |
e 2=(1,1,0), |
e 3=(1,0,1). |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
а) |
|
e 1=(1,0,0,0), |
e 2=(1,-1,1,-1), |
|
|
|
|||||
|
|
|
e 3=(1,1,0,0), e 4=(1,0,2,-1), |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
0 |
1 |
0 |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
e 1=(1,1,1,1), |
e 2=(1,-1,1,-1), |
|
|
|
|||||
|
|
|
e 3=(1,2,4,8), e 4=(1,-3,9,-27), |
|
|
|
||||||
102
д) e1
е) e1
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
A |
0 |
1 |
0 |
0 |
; |
|
0 |
0 |
2 |
0 |
|||
|
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
2=(1,0,-1), |
|
в) |
e 1=(1,1,1), |
e |
e 3=(0,1,-1), |
||
|
3 |
0 |
0 |
|
|
|
A 0 |
0 |
0 |
; |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
г) Матрица не может быть диагонализирована.
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
{1, 2, 2}; A |
0 |
4 |
0 . |
||
{2,1, 2}, |
e2 |
{ 2, 2, |
1}, |
e3 |
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
{10,15, 6}; A |
0 |
5 |
0 . |
|||
{2, 2,1}, |
e2 |
{4,12,3}, |
e3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
5. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО,ЕГО ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
До сих пор рассматривались только такие свойства линейных операторов, которые полностью определяются лишь аксиомами линейного пространства.
Это обстоятельство определяет чрезвычайно большую общность всех результатов, которые справедливы для любых
103
линейных пространств. Для получения же новых результатов необходимо несколько ограничить класс рассматриваемых пространств и тем самым получить возможность более глубокого изучения свойств линейных операторов.
Мы остановимся подробнее на важнейшем частном случае линейных пространств. Этим частным случаем вещественных линейных пространств являются, евклидовы пространства.
5.1. Определение вещественного евклидова пространства
Вещественное линейное пространство L называется
вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два
требования: |
|
|
|
|
|
I. |
Имеется правило, посредством которого любым |
||||
двум элементам этого пространства |
|
и |
|
ставится в |
|
x |
y |
||||
соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом
( x , y ).
II.Указанное правило подчинено следующим
четырем аксиомам:
1.( x , y )=( y , x )
(переместительное свойство или симметрия);
2.( x 1+ x 2, y )=( x 1, y )+( x 2, y )
|
(распределительное свойство); |
||||
3. |
( |
|
|
|
|
x |
, y )= |
( x |
, y ), для любого вещественного . |
||
4.( x , x )>0, если x - ненулевой элемент;
|
|
если |
|
- нулевой элемент. |
( x |
, x )=0, |
x |
||
Отметим, |
что |
при введении понятия евклидова |
||
пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов, важно лишь,
104
чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения.
Приведем примеры конкретных евклидовых пространств.
Пример 1. Рассмотрим линейное пространство R3 всех свободных векторов. Скалярное произведение любых двух векторов определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (т.е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними). В курсе аналитической геометрии была доказана справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1-4.
Таким образом, пространство R3 с так определѐнным скалярным произведением является евклидовым пространством.
Пример 2. Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство всех функций x(t), определѐнных и непрерывных на сегменте a t b.
Это пространство принято обозначать C[a,b]. Скалярное произведение двух функций x(t) и y(t) из C[a,b] определим как интеграл от произведения этих функций в пределах от a до b:
b
x(t) y(t)dt
a
Для так определѐнного скалярного произведения выполнены все четыре аксиомы определения евклидова пространства. Действительно, аксиома 1 очевидна; справедливость аксиом 2
и 3 следует |
из свойств определѐнного |
интеграла; |
|
|
b |
справедливость |
аксиомы 4 следует из того, что |
x2 (t)dt |
|
|
a |
неотрицателен, как интеграл от непрерывной неотрицательной функции и обращается в нуль лишь, когда эта функция тождественно равна нулю на сегменте [a,b].
105