Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

			x2+ x3)=
	A (	x )=( x2+ x3,2 x1+ x2,3 x1-	x2+ x3)=
		= (x2+x3,2x1+x2,3x1-x2+x3)=
		= (x2+x3,2x1+x2,3x1-x2+x3)=	A x ;

A ( x	+ y )=(x2+y2+x3+y3,2x1+2y1+x3+y3,3x1+3y1-x2-y2+x3+y3)=

=(x2+x3, 2x1+x2, 3x1-x2+x3)+(y2+y3, 2y1+y2, 3y1-y2+y3)=

=A x + A y .

Следовательно,										,
Следовательно,				A - линейный оператор. Далее,			Ae1	2e2	3e3	,

Ae2	e1	e3	, Ae3	e1	e3	e3 .
			0	1	1
Значит, A			2	0	1 .

31 1

3.В пространстве R3 заданы два линейных оператора A

и B . Найти матрицу С линейного оператора C									AB	BA и его

явный вид в каноническом базисе						3:
			=(2x2-2x1+3x2+2x3,4x1-x2+5x3),
		A x	=(2x2-2x1+3x2+2x3,4x1-x2+5x3),

		B x =(-3x1+x3,2x2+x3,-x2+3x3).
Решение. Так как,
							0 , 2 , 5 и
Ae1	0 , 2 , 4 , Ae2			2 , 3 , 1 , Ae3			0 , 2 , 5 и
							1, 1, 3 , то
Be1	3 , 0 , 0 , Be2			0 , 2 , 1 , Be3			1, 1, 3 , то
			0	2	0	3	0	1
		A	2	3	2 , B	0	2	1 .
			4	1	5	0	1	3
		0	4	2		3	0	1
Далее,	AB	6	4	7	, BA	0	2	1 .
		12	7	18		0	1	3
Поэтому

4 11 3 C AB BA 6 1 2 .

26 1 5

По определению матрицы линейного оператора в каноническом базисе R3 ее столбцы являются наборами компонент образов базисных векторов, т.е.

	( 4,6,			11,	1,		3 ,	26 , 6 .
Ce1	( 4,6,		26) , Ce2	11,	1,	1 ,Ce3	3 ,	26 , 6 .
Отсюда находим:
				x2e2	x3e3
	Cx	C x1e1		x2e2	x3e3	x1Ce1	x2Ce2		x3Ce3

=(-4x1+11x2-3x3,6x1-x2-2x3,-26x1-x2+5x3).

4.5 Геометрический смысл определителя матрицы оператора в пространствах R3 и R2.

1. Изменение объѐма. Рассмотрим пространство R3.

Пусть оператор A - невырожденный.			Это означает,				что он

любые три некомпланарных вектора ( e			1, e	2, e	3) переводит в
три	некомпланарных	вектора
три	некомпланарных	вектора		( A e		1, A e	2, A e 3).

Параллелепипед, построенный на векторах e1 ,					e2	, e3 , оператор

A в силу линейности преобразует в параллелепипед, построенный на их образах. Найдем соотношения между объѐмами этих параллелепипедов.

Как известно, ориентированный объѐм параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен их смешанному произведению. Поэтому

V(1) =

e , V(2) = A

A e 2

A e 3

Выражая

A e

1, A

e 2,

e 3 по формулам:

A e

1 = a11 e

1+a21 e

2+a31 e 3

A e

2 = a12 e

1+a22 e

2+a32 e 3

A e

3 = a13 e

1+a23 e

2+a33 e 3

получаем

V(2)=(a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a23a31 -

-a12a21a33 - a11a23a32)( e1 e2 e3 )

или

V(2)=detA V(1),

где А - матрица оператора A . Отметим: что если detA>0, то оба параллелепипеда одинаково ориентированы, если detA<0, то ориентация их разная.

Итак, определитель матрицы оператора равен отношению ориентированных объемов соответствующих параллелепипедов в пространствах образов и прообразов. Иначе, он является коэффициентом искажения объѐма.

	2.Изменение площади.						Пусть		оператор	A	переводит

неколлинеарные				векторы		e 1, e2		пространства		R2	в векторы

A e	1, A e 2. Возьмѐм единичный вектор e 3, перпендикулярный

плоскости векторов e 1,					e 2. Введѐм вспомогательный оператор
A 1, (действующий в пространстве R3) такой, что :

					A		=
					A	1 e 1	=	A e 1,
					A		=
					A	1 e 2	=	A e 2,

					A 1 e		3 = e 3.
	Тогда ориентированные объѐмы V(1) и V(2) численно
равны площадям параллелограммов S(1) и S(2), построенных на

векторах		e	1, e 2	и их образах. С					учетом результата п.1,
получаем S(2)=S(1)detA1.
	Нетрудно			видеть,			что		detA1=detA.		Значит
S(2)=detA S(1),т.е.				detA	является			коэффициентом			искажения

площади.

Упражнения

1. Установить, какие из заданных отображений пространства

R3 в себя являются						линейными операторами; выписать их

матрицы в прямоугольном базисе B=( i , j , k ):
а)		=		,	-	фиксированное число;
	A x		x
б)		=			,		- фиксированное число;
	A x		x	+ a		и a
в)							- заданный единичный
	A x	=( x , e ) e				, где e

вектор, выяснить геометрический смысл этого отображения;

г)					- фиксированный вектор.
г)	A x	=[ a	, x	], a	- фиксированный вектор.
д)						- фиксированный вектор.
д)	A x	=( a	, x ) x ,		a	- фиксированный вектор.
2.		Установить,				какие из заданных отображений

пространства арифметических векторов R3 в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в каноническом базисе:

а) A x =(x1,x2+1,x3+2);

б) A x =(0,x2-x3,0);

в) A x =(x1+2x2+2x3,-3x2+x3,2x1+3x3);

г) A x =(3x1+x2,x1-2x2-x3,3x2+2x3).

3.Показать, что ортогональное проектирование

трехмерного пространства на ось 0X есть линейный оператор.


Найти его матрицу в базисе B=( i , j , k ).
4. В пространстве R3 заданы два линейных оператора A

и B . Найти матрицу С линейного оператора			C	AB	BA и его

явный вид в каноническом базисе R3:
а)		=(7x1+4x3,4x2-9x3,3x1+x2);
а)	A x	=(7x1+4x3,4x2-9x3,3x1+x2);
		=(x2-6x3,3x1+7x3,x1+x2-x3);
	B x	=(x2-6x3,3x1+7x3,x1+x2-x3);

б) A x =(2x1-x2+5x3,x1+4x2-x3,3x1-5x2+2x3);

x =(x +4x +3x ,2x +x ,3x -x );

B 1 2 3 1 3 2 3

в) A x =(3x1+x2-2x3,3x1-2x2+4x3,-3x1+5x2-x3);

		=(2x1+x2,x1+x2+2x3,-x1+2x2+x3);
	B x
г)		=(3x1+x2+x3,2x1+x2+2x3,x1+2x2+3x3);
	A x
		=(x1+x2-x3,2x1-x2+x3,x1+x2).
	B x

оператора в том же базисе, в котором указаны координаты

векторов

и b .

В L4

задан линейный оператор A , матрица которого в

некотором базисе B=( e

1, e

2, e

3, e 4) равна:

2 .

Найти матрицу этого оператора в базисах:

4);

а)

B'=( e

1, e

3, e

2, e

б)

B'=( e

1, e

1+ e

2, e

1+ e 2+ e

3, e 1+ e 2+ e

3+ e 4).

В L3

задан линейный оператор A , матрица которого в

некотором базисе B=( e

1, e

2, e 3) равна:

8 .

Найти матрицу этого оператора в базисе

B': e1

=2 e 1+3 e 2+ e 3,

e2 =3 e 1+4 e

2+ e

3, e3

= e

1+2 e 2+2 e 3.

8. В L3 заданы два базиса:

B': e1 =8 e

1-6 e 2+7 e 3,

e2 =-16 e

1+7 e

2-13 e

3, e3

=9 e

1-3 e

2+7 e 3,

a 1=(2,3,5),

a 2=(0,1,2), a 3=(1,0,0)

оператором

преобразуются соответственно

b 1=(1,1,1),

b 2=(1,1,-1),

b 3=(2,1,2).

Найти матрицу этого

[Ageev_E.P.]_Neravnovesnaya_termodinamika_v_vopros(BookSee.org)
[Template] Тестові завдання з дисципліни Господарське право П,Пк-81
[Методичка] Остеология
00539
02.03
0501 Конунников ЛР1-1
1
10-2_ЛР
10176245_831175obrazovat
10Лекция 10