Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

B'': e1

= e 1-2 e

2+ e 3, e2

=3 e

1- e

2+2 e 3,

e3

=2 e

1+ e

2+2 e 3 .

Найти матрицу оператора A в базисе B'', если его матрица в

базисе B' имеет вид:

1

18

15

A

1

22

20 .

1

25

22

9.В пространстве L2

оператор

A в базисе B': e

1= e 1+2 e 2,

имеет матрицу A

3

5

. Оператор

в базисе

e2 =2 e

1+3 e 2

4

3

B

B'':

матрицу

B

4

6

.

e1

=3 e 1+ e

2, e2

=4 e 1+2 e 2 имеет

6

9

Найти матрицу оператора A + B

в базисе B''.

10. В пространстве L2 оператор A в базисе B':

матрицу A

2

1

e

3e

7e

,

e2

e1

2e2

имеет

.

1

1

2

5

3

имеет

Оператор B в базисе B'': e1

=6 e 1-7 e 2,

e2

=-5 e 1+6 e 2

1

3

матрицу B

2

7 .

Найти

матрицу оператора

A

B

в

том

базисе, в котором даны координаты всех векторов.

11.

В

пространстве

n

задан линейный

оператор

d

дифференцирования D

dt

. Найти матрицу этого оператора в

базисе 1,t,t2,…,tn.

12. В пространстве функций, дифференцируемых на всей

оси, заданы оператор дифференцирования

d

и оператор

D

dt

A D =

A .

а)

=(x1-x2+x3,x3,x2)

A x

б)

=(x2+2x3,-x2,2x2-x3).

A x

Ответы

0

0

1.

а)

является;

A

0

0

;б)

не является;

0

0

в)

является

оператором

проектирования на ось,

cos

cos

заданную вектором e , если

e

i

j

cos k ,

cos2

cos

cos

cos

cos

то

A

cos

cos

cos2

cos

cos

;

cos

cos

cos

cos

cos2

г)

является, если

a

a1i

a2 j

a3k ,

0

a3

a2

то

A

a3

0

a1

;

a2

a1

0

0

0

0

2.

а) не является; б) является; A 0

1

1

0

0

0

1

2

2

3

1

0

в) является;

A 0

3

1

; г)является; A

1

2

1 ;

2

0

3

0

3

2

1

0

0

3.

0

0

0 .

0

0

0

22

13

37

4.

а)

C

39

16

25 ,

1

0

6

=(22x1+13x2-37x3,-39x1-16x2+25x3,-x1-6x3);

Cx

15

23

7

б)

C

2

8

4 ,

7

1

7

Cx =(-15x1+23x2-7x3,2x1+8x2-4x3,-7x1+x2+7x3);

в)

C=0, cx

= 0 ;

2

3

2

г)

C 1

0

4

,

5

0

2

1

0

2

1

2

0

1

0

6.а)

A

2

3

5

1

;

б) A

1

4 8 7 .

3

1

0

2

1

4

6

4

1

1

2

3

1

3

4

7

1

0

0

1

2

2

44

44

0

2

0

. 8. A"

3

1

2 . 9.

7.

29.5

25 .

0

0

3

2

3

1

0

1

0

2

0

11.

0

3

.

0

0 n 1

0

13.

а)

1

A

A ;

б)

оператор не имеет обратного.

Пусть

A

- линейный

оператор, действующий из

конечномерного линейного пространства L в это же

пространство.

Ненулевой

вектор

L называется

собственным

x

вектором

линейного

оператора A , если

справедливо

=

(4.2)

A x

x .

оператор

A определяется матрицей n-го порядка,

столбцами

которой являются координаты векторов A e 1,

A e

2, , A e n в

базисе e

1, e 2,

, e n.

Пусть вектор

x имеет координаты x1,x2,..,xn

в этом же

a11

a12

a1n

x1

x1

a21

a22

a2n

x2

x2

,

an1

an 2

ann

xn

xn

или

a11 x1

a12 x2

a1n xn

x1

a21 x1

a22 x2

a2n xn

x2

an1x1

an 2 x2

ann xn

xn