Документ: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П, страницы 76-80

3. Умножение оператора на число.				называется
Произведением	оператора		A на число	называется


оператор B , что обозначается B =			A , если для любого		x L
справедливо равенство
справедливо равенство	B x =	( A x ).

Оператор B является линейным, так как :

B(x y)

B( x)

A(x

A( x)


y)		(Ax	Ay)		Ax			Ay,
(						(
(	Ax)			(Ax)		(	Ax)		Bx.

Докажите самостоятельно, что если оператору A соответствует матрица A=(aij), то оператору A соответствует матрица A=( aij) , т.е. при умножении линейного оператора на число соответствующая ему матрица также умножается на это число.

Для умножения линейного оператора на число справедливы следующие тождества:

1.1· A = A ;

2.0 A = 0 ;

3.(-1) A =- A .

4.( A )=() A .

5. (	+	) A =	A +	A .

6.	( A + B )=		A +	B .

Аналогичные тождества справедливы и для умножения матрицы на число.

4.Умножение линейных операторов.

Произведением линейных операторов A и B

называется оператор			C , что обозначается		C = A B			,	если для

	L n справедливо равенство:
любого x	L n справедливо равенство:

			C x	= A ( B x ),
т.е. сначала вектор			преобразуется в вектор						, а затем
т.е. сначала вектор		x	преобразуется в вектор			y	= B x		, а затем

- в вектор z	= A y .

Таким образом, перемножение операторов состоит в

76

последовательном их применении одного за другим. Оператор

C линейный, так как:

C(x y)

A(Bx)

C( x) A(B(


A(B(x y))			A(Bx By)

A(By)		Cx	Cy,

x))	A(	Bx)		A(Bx)	Cx.

Найдем выражение матрицы С линейного оператора C = A B через матрицы A=(aij) и B=(bij) линейных операторов

A и

B .

Имеем:

Cek

A(Bek )

A(b1k e1

b2k e2

bnk en )

b1k Ae1

b2k Ae2

bnk Aen

b1k (a11e1

a21e2

an1en )

b2k (a12e1

a22e2

... annen )

bnk (a1ne1

a2ne2 annen )

(a11b1k

a12b2k

a1nbnk )e1

(a21b1k a22b2k

a2nbnk )e2

(an1b1k

an2b2k annbnk )en .

Если

обозначим

Cek

c1k e1

c2k e2 ...

cnk en ,

то

cik

ai1b1k

ai 2b2k

...

ainbnk , где i,k=1,2,...,n.

Мы заметим, что для того чтобы получить элемент

матрицы C, стоящий на пересечении еѐ i-й строки и

k-го

столбца, надо каждый элемент i-й строки матрицы А умножить на соответствующий элемент k-го столбца матрицы В и все полученные произведения сложить, то есть матрица С получается как произведение матриц А и В.

Мы показали, что при перемножении линейных операторов соответствующие им матрицы перемножаются.

Рассмотрим свойства умножения линейных операторов: 1. Если A , B , C - линейные операторы, то:

	( A B ) C = A ( B		C ).


Действительно, для любого вектора x				Ln	имеем:

[( A B ) C ] x		=( A B )( C x )=	A	( B	( C x )) и

77

				((
[ A (	B C )] x		= A	((	B C ) x )= A ( B				( C x )).
Таким образом, умножение линейных операторов (а,
следовательно, и матриц) ассоциативно.
Произведение ( A B ) C = A ( B								C ) обозначается обычно

просто A B C - без скобок.

2. Для любого линейного оператора A :

			A E = E			A = A

Матрица	Е	тождественного					оператора			E называется

единичной матрицей. Для любой матрицы А (того же порядка, что и Е):

АЕ=ЕА=А.

3. Умножение и сложение линейных операторов связаны дистрибутивными законами:

( A + B ) C

= A C

+ B

C

и C

( A + B )= C

A

+ C

B

так как для любого вектора x

Ln :

(( A + B ) C ) x =( A

+ B )( C x )= A

( C x )+ B

( C x )=

,

=( A C ) x

+( B

C ) x =( A C + B C ) x

( C

( A + B )) x = C (( A

+ B ) x )= C (

A x + B x )=

= C

( A x )+ C

( B x )=( C

A ) x +( C

B ) x

=( C

A + C

B ) x .

Аналогичные тождества справедливы и для матриц.

Заметим, что в общем случае A B

B A , т.е. умножение

линейных операторов, вообще говоря, не коммутативно.

4. Степень оператора.

операторов

A

B

вместо

B

Если

в

произведении

подставить

оператор A ,

то

оператор

A A

называется

2

, т.е.

2

=AA.

квадратом оператора A и обозначается A

A

Точно

также

3

2

Продолжая

этот

процесс,

A

= A A .

получаем, что n-я степень оператора

A ,

которая обозначается

n

, определяется равенством:

A

n 1

n

A

78

Кроме

того, по определению полагаем

0

-

A

= E

тождественный оператор.

5. Обратный оператор.

обратным по

отношению

к

Оператор

B

называется

оператору A ,

если

A B = B

A = E . В этом случае будем писать

-1

. Из определения следует,

1

B = A

если y

= A x , то

x

= A

y .

Нетрудно убедиться, что из линейности оператора

A следует

линейность оператора

-1

.

A

A в конечномерном

В силу эквивалентности оператора

пространстве матрице А заключаем, что если

-1

, то B=A

-1

B

= A

и обратный оператор

-1

существует тогда и только тогда,

A

когда detA

0.

4.4. Изменение матрицы линейного оператора

при переходе к новому базису

В общем случае матрица оператора зависит от

выбранного базиса.

задан линейный оператор

A

Пусть в пространстве Ln

такой, что

y = A x .

Пусть

в

Ln

заданы

два

базиса:

B: e1, e2 ,..., en

и

B': e1 ,e2 ,...en .

- матрица

оператора A

в

базисе

B, а

A'

-

Пусть

А

матрица оператора A в базисе B'.

Изменение координат вектора при переходе от одного

базиса к другому осуществляется по формулам X=TX', Y=TY',

где T - матрица перехода от базиса B к базису B’. Так как

-1

ATX'. Сравнивая последнее

y

= A x , то TY'=ATX' или Y'=T

равенство с равенством Y'=A'X', заключаем, что A'=T-1AT. Мы

получили, что матрица A'

оператора A в базисе B'

связана с

матрицей А того же оператора

в

базисе

B

соотношением

79

A'=T-1AT или A=TA'T-1. Матрицы А и T-1AT описывают

действие одного и того же оператора A в разных базисах. Такие квадратные матрицы A и A'=T-1AT (где Т - невырожденная матрица) называются подобными. Одним из важных свойств подобных матриц является равенство их определителей.

Действительно, |A'|=|T-1AT|. Но определитель произведения матриц равен произведению их определителей,

т.е. |A'|=|T-1| |A| |T|, и так как |T-1|= | T1 | , то отсюда следует,

что |A'|=|A|.

Так как матрицы одного и того же линейного оператора в различных базисах являются подобными, то из равенства определителей подобных матриц следует справедливость следующего утверждения:

Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Примеры.

		1.		В	базисе				оператор					имеет
		1.		В	базисе		e1	, e2	оператор				A	имеет
матрицу A				6	2 .	Написать			матрицу		этого		оператора в
				6	1

базисе e1			e1	2e2	, e2	2e1	3e2 .
	Решение. Матрица перехода к новому базису имеет вид
T	1	2	, а обратная к ней матрица:							T 1		3	2 .
	2	3										2	1
Следовательно, A					T 1 AT			3	2	6	2	1	2	2	0 .
							2		1	6	1	2	3	0	3
		2.	Пусть							=(x2+x3,2x1+x3,3x1-x2+x3).
		2.	Пусть		x =(x1,x2,x3),				A x	=(x2+x3,2x1+x3,3x1-x2+x3).

Проверить, что оператор A - линейный и найти его матрицу в каноническом базисе R3

Решение.

80

Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Смотрите также: