Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

		14.В произвольном линейном пространстве Ln									векторы

e1	, e2	, , en	и x	заданы своими координатами в некотором

базисе В. Доказать, что система B'=( e1								, e2 ,	, en ) - базис в Ln, и
найти столбец X´ координат вектора								в этом базисе:
найти столбец X´ координат вектора							x	в этом базисе:
				1		1		1	6
		а)	E1	1 , E2		1 , E3		2 , X 9 ;
				1		2		3	14
				2		3		1		6
		б)	E1	1 , E2		2 , E3		1 , X		2	;
				3		5		1		7
			1		2		1		1		7
		в) E	2	, E	3	, E	2	, E	3	, X	14 .
		1	1	2	0	3	1	4	1		1
			1		0		1		1		1
			1		1		4		0		2

15.Доказать следующие утверждения:

	а)	матрица		перехода			TB B',	всегда
невырождена, и TB' B=(TB			B')-1;
б)	если
			t11	t1n
		T
			tn1	tnn

- невырожденная матрица и B=( e1					, e2	, , en ) - некоторый базис
в пространстве Ln, то система векторов:
	e	=t1i e +	+tni e		, i=1,2,		,n,
	i	1		n

также образует базис в Ln.

16.

Доказать, что если B,B' и B" - базисы в Ln, то

справедливо матричное равенство:

TB B"=TB

TB'

B" .

17. В произвольном пространстве Ln векторы e1

, e2 ,

, en

, e2

, , en

заданы своими координатами в некотором

базисе:

2 , E2

, E3

;

1 , E2

, E3

1 .

Требуется

доказать, что

системы

B=( e1

, e2 ,

, en )

B'=( e1

, e2

, en ) - базисы в Ln, и, используя результаты задач

15 и 16, написать матрицу перехода TB

B'.

Ответы.

1.1.Да.

1.2.Да, если прямая проходит через начало координат.

1.3.Нет. 1.4. Да.

1.5.Нет, так как в пределах этого множества нельзя сложить два вектора, симметричных относительно заданной прямой.

3.а) линейно зависимы; б) линейно зависимы; в) линейно не зависимы.

4.а) да; б) нет; в) да.

5.а){2,-1,3}; б){5,3,-2}; в){4,-2,1}; г){5/4,1/4,-1/4,-1/4}.

			1			0			7			1				2
			1			2			7			1				2
	8.	а)	0	; б)		2	;	в)	7	. 9.		0	.			10. 1 .
			3			1			6			1				1
			3			0			1			1				1
						0			1
			1	3	1					1		1	1
			1	3	1						1			1
11.	TB	B'=	1	2	0	;	TB'		B=		1	0		1	.
11.	TB	B'=	1	2	0	;	TB'		B=	2		0	2		.
			1	1	1					2			2
			1	1	1					1			1
										1		1	1

										2			2
										2			2
					1		1	1				1 2
	12.		TB	B'=	1		1	2	; X			3 2 .
					0		0	1				2

13.а) поменяются местами i-я и j-я строки матрицы перехода;

б) поменяются местами i-й и j-й столбцы матрицы

перехода; в) матрица перехода, рассматриваемая как квадратная

таблица, отразится симметрично относительно своего центра.

	1		1		0
14.	а) 2	;	б) 1	;	с) 2 .
	3		1		1 2

	42	71	41
17.	TB B'= 12	20	9 .
	7	12	8

4.ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР

Рассмотрим два линейных пространства L1 и L2. оператором A , действующим из L1 в L2, называется

отображение			вида A :		L1	L2,	сопоставляющее каждому

вектору		L1	некоторый			вектор		L2, что	символически
вектору	x	L1	некоторый			вектор	y	L2, что	символически

записывается в виде y = A x .
Вектор
Вектор			y	называется образом вектора x					, а вектор x -

прообразом вектора y .
Очевидно,				что	оператор		A	представляет собой

обобщение известного					из анализа определения функции на

случай, когда областью задания функции является произвольное линейное пространство L1, а область значений принадлежит пространству L2.

	Оператор
	Оператор		A называется линейным, если выполняются
следующие два условия:
1.						для любых
1.	A ( x	1+ x 2)= A		x	1+ A x 2	для любых			x 1 и	x 2 из L
	(условие аддитивности)
2.					для любого			L1	и любого числа
2.	A (	x )=	A x		для любого		x	L1	и любого числа
	(условие однородности)
	Числа			могут		быть	вещественными или

комплексными в зависимости от того, вещественными или комплексными являются линейные пространства L1 и L2.

4.1.Матрица линейного оператора

Вдальнейшем будем рассматривать только наиболее важный случай, когда пространства L1 и L2 совпадают. В этом

случае говорят, что оператор A :L L задан в пространстве L и отображает это пространство в себя, так как образы векторов из L принадлежат тому же пространству.

Пусть в n-мерном линейном пространстве Ln выбран

базис B=( e1

, e2 ,

, en )

и задан оператор A , который переводит

вектор

L в вектор

L, т.е.

= A x . Найдем выражение

координат образа

через координаты прообраза x .

+...+xn e

тогда в силу линейности

Пусть x =x1 e +x2 e

оператора A имеем:

=x1 A

+...+xn A

A x

+x2 A e

Но так как

(где i=1,2,..,n) - это тоже вектор из Ln, то

A ei

A ei можно разложить по базису B=( e1

, e2 ,

, en ).

Пусть:

A e i=a1i e

1+a2i e 2+...+ani e n, i=1,2,..,n.

Тогда:

A x =x1(a11 e

1+a21 e

2+...+an1 e n)+

+x2(a12 e 1+a22 e 2+...+an2 e n)+...+ +xn(a1n e 1+a2n e 2+...+ann e n)=

=(a11x1+a12x2+...+a1nxn) e 1+

+(a21x1+a22x2+...+a2nxn) e 2+...+


			+(an1x1+an2x2+...+annxn) e				n.
	Если		x1 , x2 ,..., xn	-	координаты вектора					в базисе
	Если		x1 , x2 ,..., xn	-	координаты вектора				A x	в базисе

B=( e1	, e2	,	, en ) , т.е. если:

			A x = x1	e1	x2 e2	... xn	en	,

то в силу единственности разложения вектора по базису, имеем:

x1 =a11x1	a12 x2	...	a1n xn ,
x2 =a21x1	a22 x2	...	a2n xn	,	(4.1)
					(4.1)

xn =an1x1 an2 x2 ... ann xn .

Смотрите также:

[Ageev_E.P.]_Neravnovesnaya_termodinamika_v_vopros(BookSee.org)
[Template] Тестові завдання з дисципліни Господарське право П,Пк-81
[Методичка] Остеология
00539
02.03
0501 Конунников ЛР1-1
1
10-2_ЛР
10176245_831175obrazovat
10Лекция 10