Документ: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П, страницы 71-75

Таким образом, каждому линейному оператору A в

данном базисе B=( e1

, e2 ,

, en )

отвечает матрица:

a11

a12

a1n

A=

a21

a22

a2 n

,

называемая

an1

an2 ann

i-й

столбец

матрицей линейного

оператора A ,

которой образован коэффициентами разложений вектора A e i

по базису B=( e1

, e2

,

, en ).

Коэффициенты разложений (4.1)

координат вектора

по координатам вектора

образуют

A x

x

строки матрицы A. Равенства (4.1) можно записать в виде

X'=AX.

Иногда

говорят,

что

в

равенствах

(4.1)

числа

x1 , x2 ,..., xn

получены

из

чисел

x1,x2,..,xn

с

помощью

линейного преобразования, задаваемого матрицей А. В этом случае матрицу А называют матрицей линейного преобразования.

Таким образом, всякому линейному оператору A в n-мерном пространстве при выбранном базисе соответствует некоторая квадратная матрица А n-го порядка.

Справедливо и обратное утверждение. Всякой матрице А n-го порядка при заданном базисе соответствует некоторый


линейный оператор. Действительно, пусть B=( e1	, e2	,	, en ) -

базис пространства Ln, и пусть дана матрица А n-го порядка.

Обозначим			через A		оператор,		переводящий		произвольный

вектор
вектор	x	=x1 e 1+x2 e 2+...+xn e n в вектор:

				A x = x1		e1	x2 e2	... xn en	,
где
			xi	=ai1 x1	ai 2 x2 ...		ain xn ,	i=1,2,...,n.

71

Покажем, что этот оператор - линейный. Произвольный

вектор

оператор

переводит в

y

=y1 e

1+y2 e 2+...+yn e n

A

следующее выражение:

= y1

,

A y

e1

y2

e2

... yn en

где yi =ai1y1+ai2y2+...+ainyn.

Вектор:

x

+ y

=(x1+y1) e

1+(x2+y2) e

2+...+(xn+yn) e n

в вектор:

A ( x

+ y )=z1 e 1+z2 e

2+...+zn e n,

где

zi=ai1(x1+y1)+ai2(x2+y2)+...+ain(xn+yn).

Поэтому:


			A ( x + y )= A x + A y .
Далее, для любого числа						имеем:

	x	=(	x1) e1		+(	x2) e2	+...+(		xn) en
и

		A (		x )=t1 e1 +t2 e2			+...+tn en		,
где
ti=ai1(		x1)+ai2(			x2)+...+ain(			xn)= xi .
Следовательно,						и оператор
Следовательно,	A (		x )=		A x	и оператор			A - линейный.
Таким образом,				установлено				взаимно однозначное

соответствие между линейными операторами в n-мерном

пространстве и матрицами n-го порядка.					A
Легко видеть, что для всякого линейного оператора


выполнено равенство A O = O . При этом, если				A x =0 только
	то оператор называется невырожденным, если же
при x =0,
найдется					-
	такой вектор x	O , что	A x =0, то	оператор A

вырожденный.

Пусть A=(aij) - матрица линейного оператора A . Рассмотрим систему линейных однородных уравнений :

72

a11 x1	a12 x2	...	a1n xn	0,
a21 x1	a22 x2	...	a2n xn	0,

an1 x1	an 2 x2	...	ann xn	0.

Для существования ненулевого решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был равен нулю: detA=0. Следовательно, для того

чтобы оператор A был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А этого оператора (в любом базисе) был отличен от нуля.

Таким образом, матрица невырожденного оператора невырожденная.

4.2. Примеры линейных операторов

Приведем несколько примеров линейных операторов в n-мерном линейном пространстве и соответствующих этим операторам матриц.

1. Если для каждого x Ln справедливо равенство

	=0, то оператор		является линейным и называется
A x	=0, то оператор	A	является линейным и называется

нулевым оператором. Так как для любого базиса { e i}				A e i=0,

i=1,2,…,n, то матрица А нулевого оператора A в любом базисе является нулевой матрицей А=0.

2. Если для каждого вектора x Ln справедливо

равенство				является	линейным. Он
	A x	= x , то оператор	A
называется	тождественным оператором и				обозначается E .


Так как для любого базиса { e }			E e i= e i, i=1,2,..,n, то матрица

тождественного оператора в любом базисе является единичной матрицей: А=Е.

3.Пусть A - поворот всех векторов обычной

плоскости X0Y вокруг начала координат на угол				против
часовой стрелки.	Это	преобразование	линейное,		т.к.
безразлично, сначала	ли	сложить векторы			потом
			a	и b , а

73

повернуть их сумму на угол , или сначала повернуть векторы, а потом их сложить; также безразлично, умножить сначала

вектор		на число , а затем повернуть его на угол	или
	a

сделать это в обратном порядке.

В п. 3.7 была найдена матрица операторa поворота:

A

cos sin sin cos

4.Пусть A - растяжение на плоскости X0Y вдоль

оси 0X

в

k

раз. Базисные

векторы

e

1= i ,

e 2= j . Возьмем

произвольный

вектор

={x1,x2} на

плоскости

XOY. Пусть

x

оператор

переводит его в вектор

={y1,y2}, тогда y1=kx1,

A

y

y2=x2 или

. Матрица оператора имеет вид :

A e 1=k e 1,

A e2

= e2

A

k

0 .

0

1

5.

В

пространстве n

многочленов

степени не

выше

n

рассмотрим

оператор

дифференцирования

A (x(t))=x'(t).

Линейность

оператора

дифференцирования

следует из правил дифференцирования. Пусть в пространстве

	выбран базис: e							= t 2
n	выбран базис: e		=1, e1		=t, e2			= t 2		2!,.., en = t n		n! .
		0
	Тогда:		=0,
	Тогда:	A e0	=0,	A e1		= e0	, A e2 = e1				,…, A en = en 1 .
	Матрица оператора имеет вид:
				0		1		0	0
				0		0		1	0
			A	0		0		0	0 .

				0		0		0	1
				0		0		0	0

74

4.3.Действия с линейными операторами

1.Равенство операторов.

Операторы

A

и

B

называются

равными,

что

обозначается

,

если

для

любого

L справедливо

A = B

x

равенство:

A x

= B x .

2. Сложение операторов.

A

и

B

называется

Суммой

линейных

операторов

L

оператор C , что обозначается

C = A + B , если для любого

x

справедливо

Оператор

C x

=( A

+ B ) x = A x

+ B x .

C

линейный, так как:

C ( x

+ y )= A

( x

+ y )+ B

( x

+ y )= A x

+ A y

+ B x

+ B

y =

,

=( A x

+ B x )+(

A y

+ B

y )= C x

+ C y

C (

x )= A

(

x )+ B (

x )=

A x +

B x = ( A x + B x )=

C x .

Сложение линейных операторов обладает следующими свойствами:

1.A B B A.

2.( A B) C A (B C).

3.A	0	A для любого A .

Выясним теперь, что происходит с матрицами линейных операторов при сложении операторов. Пусть в некотором базисе {ei} пространства Ln линейному оператору

A соответствует матрица A=(aij), а линейному оператору B -

матрица B=(bij). Тогда, если Х - столбец из координат вектора

x , то АХ представляет собой столбец из координат вектора
~						~
Ax	, а ВХ - столбец из координат вектора Bx . Отсюда следует,
что	вектору					отвечает сумма столбцов
что	вектору	(A	B)x	Ax	By	отвечает сумма столбцов

АХ+ВХ=(А+В)Х, т.е. при сложении линейных операторов их матрицы складываются.

75

Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Смотрите также: