Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

X= x'1E1+x'2E2+x'3E3,

где X,E1,E2,E3

- столбцы

координат

векторов x

, e 1, e

2, e 3

соответственно, или

откуда

1 ,

3 ,

Решив

эту

систему

трех

линейных

уравнений

тремя

неизвестными х1,х2,х3, получим координаты вектора

x в базисе

В: x'1=-2, x'2=2, x'3=1.

3.5. Линейные операции над векторами

в координатной форме

Пусть

линейном

пространстве Ln выбран

базис

, e2 ,…, en . Так как всякий вектор из Ln можно представить и

притом единственным образом в виде линейной комбинации

базисных векторов, то пусть для векторов					и		из L
базисных векторов, то пусть для векторов				x	и	y	из L
справедливы разложения:
	=x1 e	+x2 e	+...+xn e ,
x	=x1 e	+x2 e	+...+xn e ,
	1	2	n
	=y1 e	+y2 e	+...+yn e .
y	=y1 e	+y2 e	+...+yn e .
	1	2	n

Тогда на основании аксиом, которым удовлетворяют операции

сложения и умножения на число имеем:

x + y		=(x1 e	1+x2 e	2+...+xn e n)+(y1 e		1+y2 e 2+...+yn e n)=

		=(x1+y1) e		1+(x2+y2) e	2+...+(xn+yn) e n;
	=
x		(x1 e 1+x2 e 2+...+xn e n)=			x1 e	1+ x2 e 2+...+	xn e n
Таким образом справедлива следующая
Теорема. Если векторы n-мерного линейного
пространства заданы				своими координатами относительно

некоторого базиса, то при сложении векторов или умножении их на число координаты векторов соответственно складываются или умножаются на :

x+ y ={x1+y1,x2+y2,...,xn+yn}

x ={ x1, x2,..., xn}.

3.6 Признак линейной зависимости и независимости векторов

Рассмотрим систему векторов x 1, x 2,.., x m пространства Ln. Пусть координаты векторов задаются следующим образом: xi ={xi1,xi2,..,xin}, i=1,2,…,m. Обозначим через Xi столбец

координат вектора x i.

Приравняем к нулю их линейную комбинацию:

1X1+ 2X2+...+ mXm=0

Запишем последнее равенство в координатной форме и получим систему:

x11 1	x21 2	xm1 m	0
x12 1	x22 2	xm2 m	0
			(3.2)

x1n 1	x2n 2	xmn m	0

Матрицу этой системы обозначим Mm, столбцы этой матрицы

составлены из координат векторов x 1, x 2,.., x m:

x11 x21 xm1 Mm= x12 x22 xm2

			x1n x2n xmn

Векторы	x 1,	x 2,..,	x m линейно зависимы тогда и только

тогда, когда система уравнений (3.2) имеет ненулевое решение

1, 2,.., m.

Для линейной независимости системы векторов

необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы Mm был равен числу векторов системы m.

В частном случае, при n=m, система векторов будет линейно зависима, если detМm =0, так как однородная система (3.2) при этом имеет нетривиальное решение и линейно

независима, если detМm

0, так как система (3.2) имеет в этом

случае единственное тривиальное решение.

Примеры.

1, 0 , , 0 ,

1.В пространстве Rn рассмотрим векторы e

0 , 1, , 0 ,

0 , ,1

, en

0 ,

покажем, что они линейно

независимы.

Действительно, из равенства нулю линейной

комбинации:

1 e

2 e

n e

+...+

= 0

следует

{

, n}= 0 ={0,0,

,0},

т.е.

n=0.

Далее,

любой вектор

={x1,x2,

,xn} разлагается по векторам

, e2 ,…, en :

=x1 e 1+x2 e

2+...+xn e n..

Поэтому пространство Rn

является n-мерным, а векторы e 1,

e 2,.., e n образуют базис. Такой базис называется каноническим.

2.Векторы

1=2 e 1+ e

2+ e 4, x 2= e

1- e

2+2 e 3- e 4,

3= e

1+2 e

2+ e 3

линейно независимы, так как ранг матрицы:

равен трем.


3.	Имеем	векторы				x 1={1,2,-1},	x 2={2,0,3},

x 3={ ,1,2}. Подобрать			так, чтобы эти векторы были линейно
зависимы.
Векторы линейно зависимы, если
				2
			1	2
			2	0	1	0 ,
			1	3	2

отсюда =13/6.
		3.7 Преобразование координат вектора
			при преобразовании базиса
		Пусть в	пространстве Ln имеются два базиса:B:

e1	, e2	,…, en и B	’: e1	, e2	, ..., en .

Первый условимся называть старым базисом, второй - новым. Как всякий элемент пространства Ln каждый из элементов нового базиса, можно линейно выразить через векторы старого бaзиса:


e1	t11e1	t21e2		... tn1en

e2	t12 e1	t22 e2		... tn2en		.
						.


en	t1n e1	t2 n e2		... tn nen
Можно сказать, что новые базисные векторы
получаются из старых с помощью матрицы:
		t11	t12	t1n
	T=	t21	t22	t2n	,
	T=				,

		tn1	tn 2	tnn

причем коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы. Матрица Т называется матрицей перехода от базиса В к базису B , k-й

столбец матрицы T является столбцом координат вектора ek в

базисе В.

Определитель матрицы Т не равен нулю, так как в противном случае еѐ столбцы, а следовательно, и векторы


e1		, e2	, ..., en были бы линейно зависимы.
			Верно обратное, если определитель матрицы Т отличен
от		нуля,		то	столбцы еѐ линейно	независимы,	и значит,

векторы e1				, e2	, ..., en , получающиеся	из базисных	векторов

e1	, e2 ,…, en			с помощью матрицы Т, линейно независимы, т.е.

образуют некоторый базис. Следовательно, матрицей перехода может служить любая квадратная матрица порядка n с отличным от нуля определителем.

Выясним теперь, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть

					в старом базисе и в то		же	время
x	=x1 e 1+x2 e 2+...+xn e n -				в старом базисе и в то		же	время

x	=x'1 e1	+x'2 e2	+...+x'n en		- в новом.
	Подставляя в последнее равенство вместо
	Подставляя в последнее равенство вместо					e1	, e2	, ..., en

их выражение через e1				, e2	,…, en , получаем:


x x1	(t11e1	t21e2

t22 e2		tn2en )

tnnen )	(t11x1	t12 x2


tn1en ) x2	(t12 e1

xn (t1n e1	t2n e2

t1n xn )e1	(t21x1

		(tn1x1		tnn xn
t22 x2	t2n xn )e2	(tn1x1	tn2 x2	tnn xn

В силу единственности разложения вектора бaзису B из последнего равенства следует, что

)en .

x по

x1	t11x1	t12 x2	t1n xn ,
x2	t21x1	t22 x2	t2n xn ,	(3.3)
				(3.3)

x1	tn1x1	tn2 x2	tnn xn .

Смотрите также:

[Ageev_E.P.]_Neravnovesnaya_termodinamika_v_vopros(BookSee.org)
[Template] Тестові завдання з дисципліни Господарське право П,Пк-81
[Методичка] Остеология
00539
02.03
0501 Конунников ЛР1-1
1
10-2_ЛР
10176245_831175obrazovat
10Лекция 10