Документ: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П, страницы 51-55

Установленные таким образом действия над рассматриваемыми функциями удовлетворяют всем аксиомам из определения линейного пространства. Проверка этого сводится к использованию законов арифметики при фиксированном t.

6.Примером линейного пространства может служить множество {Pn(t)} всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа n с обычными операциями сложения и умножения на число, определѐнными так же, как в предыдущем примере. Множество {Pn(t)}, если его рассматривать на отрезке [a,b], является подмножеством линейного пространства C[a,b].

Заметим, что не является линейным пространством множество всех многочленов степени, равной n, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом степени меньшей n.

7.Множество, элементами которого являются квадратные матрицы порядка n, также является примером линейного пространства, т.к. правила сложения квадратных матриц и умножения их на число подчиняются аксиомам 1-8.

3.3. Линейная зависимость векторов
			2,..,
Пусть	x 1,	x	2,..,	x n - векторы линейного пространства L,
а 1, 2,..,	n	-	произвольные вещественные числа, тогда
вектор				2+...+				называется		линейной
вектор	1 x 1+		2 x	2+...+		n x n		называется		линейной
									1,	2,..,
комбинацией	векторов				x 1,	x 2,..,		x n. Числа	1,	2,..,	n
называются коэффициентами этой линейной комбинации.
			1,
Векторы		x	1,	x 2,..,		x n	линейного пространства				L

называются линейно зависимыми, если существуют такие коэффициенты 1, 2,…, n , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация векторов обращается в нуль:

	1+		2+...+
1 x	1+	2 x	2+...+	n x n=0.

51

Векторы, не являющиеся линейно зависимыми называются линейно независимыми.

Примеры.

1.На плоскости можно найти сколько угодно пар линейно независимых векторов - линейно независимы любые два неколлинеарных вектора. Любые три вектора плоскости линейно зависимы.

2.В трехмерном пространстве любые три некомпланарных вектора линейно независимы. Однако любые четыре пространственных вектора будут линейно зависимы.

3.Покажем, что в пространстве C[a,b] векторы 1,t,t2,..,tn, где n - любое целое положительное число, являются линейно независимыми.

Нулевым вектором в этом пространстве является функция, тождественно равная нулю.

Предположим, что

0 1+ 1t+ 2t2+...+ ntn 0.

Если среди чисел i имеются отличные от нуля, то стоящий слева полином имеет не более n корней. Тождественное равенство полинома нулю означает, что оно должно выполняться при всех t из интервала [a,b]. Следовательно, все коэффициенты рассматриваемого полинома должны быть

равны нулю, т.е. векторы 1,t,t2,..,tn			линейно независимы.

Теорема. Векторы	x 1,	x 2,..,	x n линейно зависимы тогда

и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить

как линейную комбинацию остальных.

Доказательство. Необходимость. Пусть	x 1,	x 2,..,	x n

линейно зависимы. Тогда существуют такие коэффициенты, не

равные

нулю

одновременно, что

справедливо

равенство

Пусть,

для

1 x 1+

2 x 2+...+

n x n=0.

0

определенности

n

.Выражаем

x n

через

x 1,

x 2,..,

x n,

1

n 1

x

x ...

x

,

n

1

n 1

n

52

а это значит, что вектор xn является линейной комбинацией


векторов x 1, x 2,..,			x n-1.

	Достаточность. Пусть один из векторов, например							x n,
можно представить в виде:

			x n=	1 x	1+ 2 x 2+...+	n-1 x n-1.
						Так как	из чисел
Тогда 1 x n-		1 x 1-	2 x 2-...-		n-1 x n -1=0.	Так как	из чисел
1, - 1,-	2,...,- n-1 хотя бы одно отлично от нуля,						то векторы
1, - 1,-	2,...,- n-1 хотя бы одно отлично от нуля,						то векторы	x 1,

x 2,…,	x n-1,	x n линейно зависимы.

3.4. Базис и размерность линейного пространства

Если в линейном пространстве L существует n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторов этого пространства линейно зависимы, то это пространство называется n-мерным и обозначается Ln. Число n называется размерностью пространства и обозначается n=dim L.

Иными словами, размерность пространства - это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Например, пространства R2 и R3 соответственно двух и трехмерные.

Пространство, имеющее конечную размерность,

называется конечномерным.

Если в линейном пространстве L существует линейно независимая система из любого числа векторов, то оно называется бесконечномерным.

Примеры бесконечномерных пространств - множество всевозможных многочленов; множество всех функций, непрерывных на отрезке [a,b].

В линейной алгебре изучаются только конечномерные пространства.


Упорядоченная совокупность векторов e1	, e2	,…, en

пространства L называется базисом этого пространства, если

53

эти векторы линейно независимы и любой вектор x L может быть представлен как линейная комбинация этих векторов, т.е.

справедливо равенство:

		x =x1 e			1+x2 e 2+...+xn e n.
При этом		последнее		равенство		называется		разложением

элемента	x	по базису	e1	, e2	,…, en , а числа x1,x2,..,xn называются

координатами вектора			x	относительно базиса e1			, e2		,…, en .
В	частности,		совокупность			n линейно		независимых

векторов n-мерного векторного пространства Ln называется его базисом.

Например, в пространстве R3 базис образуют любые три некомпланарных вектора, заданных в определѐнном порядке, а в пространстве R2 базис образуют любые два неколлинеарных вектора.

Теорема. Любой вектор x n-мерного пространства можно, и притом единственным образом, разложить по базису

этого пространства e1 , e2

,…, en .

Доказательство. Пусть

e1

, e2

,…, en

- произвольный

базис пространства Ln и

Ln. Так как каждые (n+1) векторов

x

пространства

Ln

линейно

зависимы,

то

линейно зависимы

векторы x 1,

e1

, e2

,…, en

, т.е. можно составить выражение:

+ 2

0

x +

1

e

+...+

n e

0,

1

2

n

в котором хотя бы одно из чисел

0 ,

1 ,

2 ,.., n отлично от

нуля. При этом

0 0, так как в противном случае при

0=0

хотя бы одно из чисел

1 ,

2 ,..,

n

было бы отлично от нуля, и

базисные векторы e1

, e2

,…, en

были бы линейно зависимы.

1

2

n

Поэтому имеем x

e

e ...

e

. Полагая xi=-

i/ 0,

1

2

n

0

будем иметь

=x1 e

+x2 e +...+xn e .

(3.1)

x

1

2

n

54

Таким образом, любой вектор x можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов. Покажем, что это разложение единственно. Предположим, что наряду с ним имеется разложение


				x	= x1	e1	+ x2		e2 +...+ xn	en .
Вычитая его из разложения (3.1), получаем

			0 (x1	x1 )e1		(x2		x2 )e2 ...		(xn	xn )en

Так	как		векторы		e 1,	e 2,..,			e n линейно		независимы, то
последнее равенство возможно только при условии
(x1	x1	)	0, (x2	x2 )		0, ...,(xn			xn ) 0
т.е. x1		x1	, x2	x2 , ..., xn			xn	,	что	и	доказывает
единственность разложения.
		Теорема доказана.
		Таким образом,				если в n-мерном пространстве выбран

некоторый базис, то пользуясь разложением (3.1), можно установить взаимно однозначное соответствие между

векторами			этого			пространства		и	упорядоченными
последовательностями из n чисел {x1,x2,..,xn }.
	Числа x1,x2,..,xn называются координатами вектора

x	в базисе e1		, e2	,…, en	. Из теоремы следует, что два вектора
	=x1 e	+x2 e	+...+xn e		,		+y2 e	+...+yn e		n-мерного
x						y =y1 e
	1	2		n		1	2		n

линейного пространства, в котором задан некоторый базис, равны тогда и только тогда, когда их координаты в этом базисе равны, т.е. когда :

x1=y1, x2=y2,..., xn=yn

Будем в дальнейшем обозначать через X столбец координат

вектора x .

	Пример. Найти координаты вектора			={1,3,1} в базисе
	Пример. Найти координаты вектора		x	={1,3,1} в базисе

В: e	1 ={1,0,0}, e 2={1,1,0},	e ={1,1,1}.
	Решение. Обозначим координаты вектора					в базисе В
	Решение. Обозначим координаты вектора				x	в базисе В

через x1´,x2´,x3´. Это значит, что

55

Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Смотрите также: