Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

г) система имеет только тривиальное решение.

46

3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Будем рассматривать множества элементов произвольной природы, для которых определены некоторые операции, подчиняющиеся определенным ограничениям (аксиомам). Такие множества называются "пространствами", а их элементы - "точками" или "векторами" этого пространства.

Заметим, что во многих абстрактных пространствах "векторы" ничего общего не имеют с обычными векторами, изучаемыми в геометрии. Элементами абстрактных пространств могут быть функции, матрицы, некоторые системы чисел и т.д., а в частном случае - обычные векторы. Сами абстрактные пространства отличаются друг от друга лишь числом и характером вводимых в них операций и аксиомами, определяющими эти операции.

3.1. Линейное пространство Аксиомы линейного пространства

Линейным пространством называется множество L

47

операция умножения векторов на число определена только для вещественных чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.

Из аксиом линейного пространства следует:

1.В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2.В линейном пространстве каждый вектор имеет

единственный противоположный вектор.

Существование противоположного вектора определяет возможность введения для векторов линейного пространства операции вычитания, как операции обратной операции

48

3.2. Примеры линейных пространств

Приведем примеры конкретных линейных пространств. 1.Множество вещественных чисел с обычными

операциями сложения и вычитания составляет действительное линейное пространство. Аксиомы 1-8 выполняются в этом случае в силу свойств действий, установленных в арифметике.

Аналогично множество комплексных чисел составляет линейное пространство.

2. Рассмотрим множество всех геометрических векторов в трехмерном пространстве. Операции сложения указанных векторов определим по правилу "параллелограмма"

самостоятельно) справедливость аксиом 1-8.

Таким образом, множество всех геометрических векторов в пространстве представляет собой линейное пространство, которое будем обозначать символом R3.

Аналогичные множества векторов на плоскости и прямой также являются линейными пространствами, будем обозначать их соответственно символами R2 и R1.

3.Множество всех положительных вещественных чисел.

определим как возведение положительного вещественного

49

4.Важный пример линейного пространства дает множество Rn элементами которого служат упорядоченные

арифметическими векторами.

В анализе множество Rn называют n-мерным координатным пространством или пространством арифметических векторов вещественным или комплексным. Всюду в дальнейшем рассматривается вещественное пространство арифметических векторов.

Операции сложения элементов множества Rn и умножения этих элементов на вещественные числа определим правилами:

1)x y ={x1,x2,..,xn}+{y1,y2,..,yn}=

x ={x1,x2,..,xn} является элемент {-x1,-x2,..,-xn}.

Проверку аксиом 1-8 предлагается читателю провести самостоятельно.

5.Пространство всех функций x=x(t), определенных и непрерывных на [a,b] обозначают символом C[a,b]. Операции сложения таких функций и умножения их на вещественные числа определим обычными правилами математического анализа.

Как известно из математического анализа, сумма двух функций, непрерывных на отрезке a t b, и результат умножения такой функции на число снова представляют собой функции непрерывные на отрезке a t b.

Роль нулевого вектора в пространстве C[a,b] играет функция, тождественно равная нулю на отрезке a t b, а противоположным вектором является функция (-1) x(t).

50