Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Вычтем из второй и третьей строк первую, умножив еѐ соответственно на два и пять.

Умножим вторую строку на 2 и вычтем из третьей:

Матрицa A имеет только две ненулевые строки, а матрица D — три, следовательно, их ранги не совпадают, поэтому система не совместна.

2.6. Однородная система линейных уравнений

Рассмотрим систему (2.5) в частном случае, когда все свободные члены равны нулю. Такая однородная система в матричной форме имеет вид:

AX = O, (2.9)

где A - матрица системы размера mxn, а X - матрица-столбец неизвестных из n строк.

Расширенная матрица D системы (2.9) отличается, очевидно, от матрицы A только дополнительным нулевым столбцом, поэтому их ранги совпадают, следовательно, однородная система уравнений всегда совместна.

36

Подстановкой в уравнение (2.9) нетрудно убедиться, что одно из решений системы (его называют нулевым или тривиальным) имеет вид:

x1 = x2 = … = xn = O.

Если ранг матрицы A равен числу неизвестных n, то это решение будет единственным. Если же RgA < n, то однородная система уравнений имеет и другие решения (§2.5). Следовательно, справедливо утверждение:

для того, чтобы однородная система линейных уравнений имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы ранг еѐ матрицы был меньше числа неизвестных.

В частном случае, когда A является квадратной матрицей, условие существования ненулевых решений можно сформулировать следующим образом.

Теорема. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы еѐ определитель равнялся нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть система имеет ненулевое решение. Это означает, что решений у системы бесконечно много, следовательно, RgA < n. Тогда миноры порядка n матрицы A должны равняться нулю, а единственным таким минором является detA, т.к. A имеет размеры nxn, следовательно, detA = 0.

Достаточность. Пусть detA = 0. Тогда RgA < n, следовательно, однородная система имеет бесчисленное множество решений, среди которых есть ненулевые. Решение системы (2.9) обладают следующими свойствами:

37

Справедливость этих свойств нетрудно проверить, подставив в

Для отыскания решений системы (2.9) воспользуемся методом Гаусса. После несложных элементарных преобразований получим эквивалентную однородную систему ступенчатого вида. Решив эту систему (начинать следует с последнего уравнения), получим при r(A)=n единственное нулевое решение, а при r(A)<n общее решение вида:

Здесь базисные неизвестные для удобства обозначены индексами 1,2,..,r , а свободным неизвестным даны известные

значения: xr+1=c1,xr+2=c2,..,xn=cn-r. В матричной форме общее решение можно записать так:

cn r

где суммирование ведѐтся от k=1 до k=n-r, а c1,c2,…,cn-r— произвольные постоянные. Нетрудно убедиться, что решение (2.11) можно записать и в такой форме:

X = C1X1 + C2X2 +...+ Cn-rXn-r,

38

Очевидно, что Xi (i=1,2,..,n-r)-частные решения системы (2.9). Все они получены из (2.11) при условии, что ci=1,а остальные называются фундаментальной системой решений системы уравнений (2.9). Если фундаментальная система решений найдена, то любое решение системы уравнений (2.9), можно получить по формуле (2,12), давая произвольным постоянным соответствующие значения. Следует заметить, что ФСР определяется неоднозначно, но число базисных решений в ней всегда равно n-r, где r - ранг матрицы системы. Для нахождения этих решений обычно полагают одно из свободных неизвестных равным единице, а остальные - нулю, а затем из заданной системы (или эквивалентной ей) находят соответствующие значения базисных неизвестных.

Пример. Найти ФСР и общее решение однородной системы линейных уравнений

3x1 2x2 4x4 8x5 0.

Решение. Выпишем матрицу системы и элементарными преобразованиями приведем ее к ступенчатому виду.

39

неизвестных являются базисными, а три - свободными и ФСР

Коэффициенты при x1,x3 в этой системе образуют базисный минор, поэтому их будем считать базисными неизвестными, а х2, х4, х5 - свободными.

Наконец, полагая х2=0,х4=0,х5=1, находим х1=-8/3, х3=3, следовательно, X3= ( 83 ,0,3,0,1)T .

С помощью полученной ФСР выпишем общее решение заданной системы уравнений

40