Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

полученной из матрицы A заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Доказательство.В предыдущем параграфе показано,

записать в виде:

заметим, что эта сумма b1A11 + b2A21 +...+ bnAn1 с известной формулой вычисления определителя равна определителю

26

порядка n, который получен из определителя заменой его первого столбца столбцом свободных членов. Следовательно:

Аналогично доказывается, что:

x2 2 , xn n .

Соотношения (2.4) называют формулами Крамера и они, как и (2.3), применимы только в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение.

Пример. Решить систему уравнений:

x1 2x2 x3 1, 3x1 x3 7 , 4x2 x3 1.

Решение. Соcтавим матрицу системы и вычислим еѐ определитель:

1 2 1

Заменим каждый из столбцов определителя столбцом свободных членов и вычислим три вспомогательных определителя:

По формулам Крамера (2.4), получим

27

x1 = 1/ = 2; x2 = 2/ = 0; x3 = 3/ = 1.

2.3. Метод Гаусса

Простые по своей структуре формулы Крамера требуют достаточно громоздких (при больших n) вычислений. Поэтому в практических задачах чаще используется метод Гаусса, основанный на последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система линейных уравнений самого общего вида, когда число уравнений может не совпадать с числом неизвестных:

Если над уравнениями этой системы производить элементарные преобразования 1-3 ( §1.6), то в результате получится система линейных уравнений, эквивалентная заданной. В способе Гаусса элементарные преобразования на каждом этапе выполняются так, чтобы в полученной после этого эквивалентной системе все уравнения, кроме одного, не содержали неизвестную с наименьшим порядковым номером.

Для этого выберем в качестве первого уравнения то, в котором коэффициент при x1 отличен от нуля. Без ограничения общности будем считать, что оно имеет вид:

a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,

0.

Умножим это уравнение на - ai1/a11 (i=1,2,…,m) и прибавим его к уравнениям с номерами i=2,3,…,m. После этого во всех уравнениях, начиная со второго, неизвестное x1 будет исключено. Может случиться, что вместе с x1 будут исключены неизвестные x2,x3,..,xs-1, но найдется хотя бы одно уравнение, в котором сохранится неизвестное xs.

28

Одно из таких уравнений будем считать вторым уравнением системы и с его помощью исключим из i-го уравнения (i=3,4,…,m) неизвестное xs, а вместе с ним,

возможно, неизвестные xs+1,..,xq-1,.

Продолжая этот процесс исключения неизвестных, после r шагов получим эквивалентную (2.5) систему уравнений вида:

Если r=m, то последние соотношения в системе (2.6) отсутствуют. При r<m эти соотношения легко преобразовать к

остальным. Но тождественные равенства 0=0 можно вычеркнуть из системы, не нарушая еѐ эквивалентности, и после этого мы получим систему (2.7) из (r+1) уравнения относительно n неизвестных, эквивалентную системе (2.5):

29

неверно. Следовательно (2.7), а значит и эквивалентная ей система (2.5), несовместны. Поэтому на практике вывод о несовместности системы можно сделать сразу же при появлении в процессе преобразований соотношений вида 0=b, где b 0.

содержит только одно неизвестное, предыдущее - два и т.д. В этом случае решение системы нетрудно найти, решая систему снизу вверх: из последнего уравнения с номером r=n найдем xn, затем подставим найденное значение в предыдущее уравнение и найдем xn-1. Продолжая этот процесс, из первого уравнения найдем х1. Решение системы (2.5) в этом случае, очевидно, единственно.

3. Если br 1 =0, а r<n, то число уравнений в (2.7) меньше

числа неизвестных, поэтому n-r неизвестных остаются неопределенными (их называют свободными), а r неизвестных, называемых базисными, однозначно через них выражаются. Алгоритм решения системы (2.7) в этом случае следующий: перенесѐм в уравнении с номером r все неизвестные, кроме неизвестного с наименьшим порядковым номером p, в правую часть и выразим xp через xp+1, xp+2,..,xn , что всегда возможно, так как arp 0. Полученное значение xp подставим в предыдущее уравнение и найдем xp-1 и т.д. Продолжаем этот

30