Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

21

9.а) нет; б) да, 3x1, 5x1; в) да, 1x5, 1x3; г) нет;

д) да, 3xn, 5xn.

22

12.а) r=3; б) r=2; в) r=3; г) r=3.

13.а) r=3; б) r=2; в) r=3; г) r=3; д) r=2.

17.r=2, 12 11 .

2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Решение систем с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему из n линейных уравнений с n неизвестными вида:

Здесь aij (i,j=1,2,..,n) и bi (i=1,2,..,n) некоторые числа, причем aij будем называть коэффициентами при неизвестных, а bi - свободными членами. Если все свободные члены равны нулю то система (2.1) называется однородной, в противном случае - неоднородной.

Решением системы является совокупность чисел x1 , x2 , , xn , которые при подстановке в (2.1) обращают все

уравнения системы в тождества.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение,

23

называется совместной, в противном случае — несовместной. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения—

неопределенной.

Две совместные системы уравнений называются эквивалентными, если любое решение каждой из них является одновременно решением и другой системы.

Найдем решение системы (2.1) с помощью обратной матрицы. Для этого составим матрицу из коэффициентов при неизвестных A =(aij) и две столбцевые матрицы:

Матрицу А размера nxn принято называть матрицей системы, а В - матрицей свободных членов. Систему (2.1) с помощью этих матриц можно записать в виде матричного уравнения:

и только тогда, когда числа x1, x2,..,xn удовлетворяют системе уравнений (2.1), поэтому задача отыскания решений этой системы сводится к нахождению матрицы Х из уравнения

(2.2).

Предположим, что А - невырожденная матрица,

следовательно, detA 0. Тогда она имеет единственную обратную матрицу А-1 (1.5). Умножая (2.2) слева на А-1 и учитывая, что А-1А = Е, получаем:

24

Следовательно, система (2.1) с невырожденной матрицей А всегда является определенной.

Предложенный метод решения достаточно трудоемок, так как нахождение обратной матрицы при больших n затруднительно. Его целесообразно применять в тех случаях, когда требуется решить несколько систем с неизменной левой частью, но различными правыми частями. Задачи такого рода возникают, например, в электротехнике, когда требуется найти напряжение в некоторых элементах при различных входных напряжениях.

Замечание. Обратные матрицы могут быть использованы и при решении некоторых других матричных уравнений:

Здесь предполагается, что размеры матриц допускают матричное умножение, а матрицы А и С являются невырожденными

Пример. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений:

3x1 x2 2x3 3 , x1 x3 2 ,

x1 2x2 x3 0 .

Решение . Составим матрицу системы:

3 1 2 A 1 0 1 1 2 1

и вычислим еѐ определитель:

3 1 2

1 2 1

25