Материал: Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

верхнем	углу	появился ненулевой элемент c11 . Умножая
первую	строку	матрицы, содержащую элемент c11 , на

подходящие числа и прибавляя еѐ после умножения ко всем остальным строкам, получаем матрицу C1 C1, в которой все элементы первого столбца, кроме c11 , равны нулю. Затем

зафиксируем первую строку этой матрицы и те же действия выполним с матрицей C2 размера (m-2)x(n-2). Будем продолжать преобразования до тех пор, пока вспомогательная матрица Cm-r не окажется равной нулю. Это означает, что получена матрица B A, у которой m-r последних строк нулевые, т.е. эта матрица имеет ступенчатый вид (1.7), поэтому еѐ ранг а, следовательно, и ранг матрицы A равны r.

Пример. Методом элементарных преобразований вычислить ранг матрицы:

	0	1	2	1
A	2	1	0	3
A	1	3	1	2
	1	3	1	2
	1	4	1	5

Решение. Элемент a11=0, поэтому поменяем местами первую и третью строки:

	1	3	1	2
A	2	1	0	3 .
	0	1	2	1
	1	4	1	5

Для получения нулевых элементов в первом столбце прибавим ко второй и четвертой строкам первую, умножив еѐ предварительно на -2 и +1 соответственно :

	1	3	1	2	1	3	1	2
	0	7	2	7	0	1	2	1
A	0	1	2	1	0	7	2	7 .
	0	7	2	7	0	7	2	7

Прибавляя к четвертой строке третью, а к третьей вторую, умноженную на 7, получаем:

	1	3	1	2
A B =	0	1	2	1 .
	0	0	16	0
	0	0	0	0

Матрица B имеет ступенчатый вид, еѐ ранг равен числу ненулевых строк, следовательно, RgA=RgB=3.

							Упражнения
	1, Найти матрицы 3A+2B и 5A-3B, если
				A		0	3 , B	1		2 .
						1	2	0		4
	2. Найти матрицы AB и BA, если они существуют:
	1 3			0 1				1 0 1			1	2
а) A	1 3		, B	0 1			;б) A	1 0 1			, B 1 0		;
	2	1		1		0		2	3	2	3	1
											3	1
	1	2	3		1	7	6	1
в) A 2		3	4 , B		1	2 0 2 ;

					4
	1	4	3		4	5	2	1
	1	4	3			5	2	1

					4	1							1	2
					4	1
г) A		3		5 , B 0 7			; д) A 1 1 2 3 , B						3 6 .
		6		2	2	9							5	1
					2	9							1	3
													1	3
		3. Найти разность матриц AB-BA, если
		1	1	1		3	6	9
а) A 2 1 1 , B 2 4 6 ;
		1	0	1		1	2	3
		1	1	1		2	2	0
б) A 1 2 3 , B						4 5 2 .
		2	3	1		5	3	0
		4.Найти произведения матриц:
а)	1 2 4 4 ; б)				0 1		1 1 3 1				;
	3	4	1	2	3	2	2	2	0	1
								0	0	1	1	1
	3 5 6 2 18 8							1 1 2			1	1	4 .
в)	3 5 6 2 18 8						; г)	1 1 2			2 2		4 .
	2	4	3	3	1	2		2	2	3	1	1	1
								3	3	4	1	1
								3	3	4
		5. Найти матрицы (AB)T; ATBT и BTAT, если
					1	0	1		1		2
				A	1	0	1	, B	1		0 .
				A	2	3	2	, B	1		0 .
					2	3	2		3		1
									3		1
		6. Доказать справедливость соотношения (AB)T=BTAT.
					3	1	2
		7. Пусть A			1	0	2 . Найти A2,A3.

1 2 1

8. Найти все матрицы, перестановочные с заданными:

а)	1	2	; б)	7	3 .
	3	4		5	2

9. Дана матрица А размера 5x3. Можно ли умножить:

а) столбец на матрицу A; б) матрицу A на столбец; в) строку на матрицу A; г) матрицу A на строку; д) матрицу A на матрицу размера mxn? При утвердительном ответе укажите, какие размеры должны иметь множитель и произведение.

10. Найти обратные матрицы для следующих матриц:

	1	2	; б) 0 1				3	2	1	2	2	3
а)	1	2	; б) 0 1			; в) 1 2 1				; г) 1	1 0		;
	3	4		2	3		2	2	3	1	2	1
							2	2	3	1	2	1
	1	1	3	2		1	2	1	2
д)	2 2 1			2	; е)	3	8	0	4 .
	1	2	3	4		2	2	4	3
	1	1	2	3		3	8	1	6

11. Доказать следующие равенства:

а) (AB)-1=B-1A-1; б) (A-1)T=(AT)-1.

12. Найти ранги матриц методом окаймляющих миноров:

	3	1	2			2	3	7	11	2	0	2	1	4
а) 0 3 1 ; б) 1							2	4	7	; в) 3	5 2 2			7	;
	4	2	1			5	0	10	5	1	5	6	0	1
	1	1	1	1	1		1
г)	1	1	4	3	5		2 .
	2	1	9	2	7		3
	4	4	7	6	8		5

13. Вычислить ранги матриц методом элементарных преобразований;

2		3	1		2	3	0	1	1	2	3
									3 5 8
а) 3	1 5 ; б) 3 1 3 2 ; в)											;
1		4	3		8	1	6	3	5	8	13
									7	11	20

0		0		1		0	4	2
						1	5	4
	1	2		2
г)					; д) 0		10 5 .
	1 1			3
1		4		5		3	7	1
						2	0	3

14. Найти ранг матрицы

1 2 3 1 0 0 1 0 0 4 2 0 0 0 0 5 2 0 . 1 0 0 0 0 0 0 0 3

15. При каких значениях		матрица		3	2	имеет
15. При каких значениях		матрица		1	1	имеет
				1	1
ранг равный единице ?
16. Чему равны ранг матрицы A при различных
значениях ?
3	1	1	4
A=	4	10	1 .
1	7	17	3
2	2	4	3

17. Найти ранг матрицы A и указать один из ее базисных миноров:

Смотрите также:

[Ageev_E.P.]_Neravnovesnaya_termodinamika_v_vopros(BookSee.org)
[Template] Тестові завдання з дисципліни Господарське право П,Пк-81
[Методичка] Остеология
00539
02.03
0501 Конунников ЛР1-1
1
10-2_ЛР
10176245_831175obrazovat
10Лекция 10