Материал: ДИНАМИКА

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Характер движения системы будет существенно зависеть от соотношения между величинами n и k. Здесь различают три случая:

1. n < k. Случай малого сопротивления. Уравнение (5) имеет два различных комплексных корня.

2.n = k. Случай критического сопротивления. Уравнение (5) имеет два кратных

корня.

3.n > k. Случай большого сопротивления. Уравнение (5) имеет два вещественных отрицательных корня.

381

1. Случай малого сопротивления.

При n < k подкоренное выражение в равенстве (6) отрицательное. Введем обозначение

k1 = k2 −n2

1,2 = – n k1 i

Тогда общее решение уравнения (4) будет иметь вид

q(t) = e–nt (C1cos k1t + C2 sin k1t)

q(t) = A e–nt sin (k1t + )

(7)

(8)

Движение, определяемое уравнениями (7) или (8), называется затухающими колебаниями

382

T1 =

2

=

 

2

 

 

 

 

(9)

 

k1

 

 

 

 

 

k 2 − n2

Условный период затухающих колебаний – величина постоянная, не зависящая от начальных условий. Так как k1< k, то 2 /k1>2 /k, т.е. условный период затухающих колебаний больше периода собственных колебаний системы при отсутствии сопротивления.

383

Переменную величину Аe–nt называют условной амплитудой затухающих колебаний.

Для характеристики затухания часто пользуются безразмерной величиной D, которая называется декрементом затухания. Декрементом затухания называется отношение двух

последовательных амплитудных значений обобщенной координаты q, взятых условный период Т1.

Пусть

qi

= A e

−nti

 

 

sin (k1ti + );

 

 

 

 

 

qi+1 = A e−n (ti +T1 )

sin [(k1ti+T1) + )]= A e−nti e−nT1

sin (k1ti+ );

Тогда

D =

qi

= enT1

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

qi+1

 

 

через

(10)

(11)

(12)

ln D = nT .

384 (13)

1

 

2. Случай критического сопротивления.

При n = k корни 1,2 = – n характеристического уравнения (5) действительные и кратные. При кратных корнях общее решение дифференциального уравнения (4) будет иметь вид

q(t) = e–nt (C1 + C2 t),

(14)

Такое движение не имеет никаких признаков периодичности и называется апериодическим движением.

3. Случай большого сопротивления.

При n > k корни характеристического уравнения (5) действительные, различные и отрицательные. Введем обозначение

 

 

 

 

 

 

1,2 = – n k2

k2 =

n

2

− k

2

 

 

 

 

 

 

q(t) = e–nt (C1

e−k2t + C

2

e k 2t

)

 

 

 

 

 

 

 

 

385

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также:

'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
1 лекция иос
1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ РАБОТЫ ГРУЗОВЫХ ПУНКТОВ И СТАНЦИИ (Восстановлен)
1111
14
1480
1849
1880
1947