Документ: Белозеров В.И. Учебное пособие по курсу Техническая термодинамика (оригинал), страницы 36-40

71

.емкостью

дальнейшембудемназыватьудельнуютеплоемкостьпростотепло-

.дусТакуютеплоемкостьназываютудельной.теплоемкостьюВ

него),чтобыповысить(илипонизить)еготемпературунаодингра-

обходимоподвестикединицеколичествавещества(илиотвестиот

Теплоемкостьюназываетсятоколичествотеплоты,котороене-

знать.теплоемкость

рабочеетеловпроцессенагреванияилиохлаждения,необходимо

Дляопределенияколичестватепла,котороеполучаетилиотдает

.4.5Теплоемкость

i

P

1

i

¦

i

g

.

n

i

P

r

i

g

апереходотмассовыхдолейкобъемным–поформуле

1

i

¦rP

,

n

i

g

i

rP

реходотобъемныхдолейкмассовымпроизводитсяпоформуле

мулывзаимногопереходаотодногосоставасмесик.другомуПе-

Исключаявсематематическиепреобразования,приведемфор-

cì

.

R

i

.3.(514)

i

Pg

P

R

компонентанауравнениесостояниясмеси,получаем

i

гдеn–числомолейкомпонента;или,деляуравнениесостояниядля

n

i

V

i

.3.(513)

,

i

P

Pr

i

P

n

V

i

ПозаконуМариотта–БойляможнозаписатьPV=PV,откуда

2

ïðèv=.const

T

p

Шарля

1

T

p

70

2

ïðèP=const;

T

v

Гей–Люссака

1

T

v

ныдавлениям;

стояннойтемпературе,тоудельныеобъемыобратнопропорциональ-

1

2

–еслиизменениепроисходитприпо-

p

v

Бойля–Мариотта

2

1

p

v

Вспомнимгазовыезаконы:

отспособазадания.смеси

Рассмотримопределениепарциальныхдавленийвзависимости

i

1

i

ñì

¦gR.

.3.(512)

R

n

ñì

илипоформуле

P

послепредварительногоопределения

Ê

кмоль

ñì

.3.(511)

8314

R

P

Äæ

отношению

Величинагазовойпостояннойдлясмесиподсчитываетсяпосо-

n

P

2

P

1

P

K

n

g

2

g

1

.

g

ñì

.3.(510)

P

1

m

Делячислительизнаменательна

,получим

n

P

2

P

1

K

P

n

2

1

m

ñì

.

P

m

2

P

1

2

,n

P

1

и,.д.ттогда

2

1

n

учтем,что

m

n

2

1

n

Kn

n

ñì

P

m

Еслисмесьзаданапомассовомусоставу,тодляподсчета

n

2

1

ñì

P

.3.(59)

.

KrP

rPrP

Если считать теплоемкости C и C постоянными, то

Pv

qP CP T2 T1 è qv			Cv T2 T1 ,
следовательно,
qP qv CP T2 T1 Cv T2 T1 P v2 v1 .				(5.6.3)
Из уравнения состояния
pv = RT è pv			= RT ,
1	1	2	2
откуда
R T2	T1	P v2 v1 .		(5.6.4)
Учитывая (5.6.3), можно записать
CP T2 T1 Cv T2 T1 R T2 T1
èëè
	CP	Cv	R.	(5.6.5)
				(5.6.5)

Уравнение (5.6.5) называется уравнением Майера.

Сравнивая (5.6.1) и (5.6.5), находим, что удельная газовая постоянная представляет собой работу, совершаемую 1 кг газа при изменении температуры на 1°С в процессе при постоянном давлении.

Если (5.6.5) умножить на молекулярную массу Π, то получим зависимость между мольными теплоемкостями

					ΠCP ΠCv	ΠR,	(5.6.6)
							(5.6.6)
ãäå ΠR 8314				Äæ	.

				кмоль К
				кмоль К
Â		термодинамике часто используется соотношение
	CP	ΠCP	k, называемое показателем адиабаты.
	Cv	ΠCv	k, называемое показателем адиабаты.
	Cv	ΠCv

При проведении расчетов, связанных с идеальными газами, зна- чение мольных теплоемкостей часто принимают на основании данных молекулярно-кинетической теории газов. По этой теории мольные теплоемкости идеальных газов не зависят от температуры, а являются функцией только их атомности (табл. 5.6.1). Для реальных газов величина k зависит от температуры и давления.

5.5. Зависимость теплоемкости от температуры.

Истинная и средняя теплоемкости

Теплоемкость идеальных газов зависит от следующих факторов: от физических свойств газов, от условий, при которых протекает процесс изменения состояния, и от температуры. Теплоемкость реальных газов зависит, кроме того, и от давления.

Рассмотрим зависимость теплоемкости от температуры. Опыты показывают, что количество тепла, затрачиваемого на нагревание единицы количества газа на одинаковое число градусов при различ- ных температурах, различно. Так, например, для нагревания единицы количества вещества от 0 до 100°С требуется одно количество тепла, а для нагревания от 100 до 200°С – другое, обычно больше первого. Это значит, что теплоемкости для интервалов различных температур неодинаковы.

Зависимость теплоемкости от температуры можно выразить графически (рис. 5.5.1).

Различают среднюю и истинную теплоемкости.

Средней теплоемкостью C называется отношение теплоты q, подведенной или отведенной в процессе, к изменению температуры (t – t ) при условии, что разность температур является конечной ве-

21

личиной.

Допустим, что для нагревания 1 кг газа затрачено q Дж тепла, при

этом температура газа повысилась от t до t , тогда средняя тепло-

1	2
емкость в интервале температур от t до t	определится из уравне-
1	2

íèÿ

	t2		q	,	Äæ	. (5.5.1)
C
	t1	t2	t1		êã ãðàä

Если разность температур (t – t ) бесконечно мала и в

21

пределе стремится к нулю, то получаем истинную теплоемкость, которую можем записать так:

C
1χ		2
1χ
1		2χ
		2χ
Oχ
		C
	C	2
C	C
C
1
O
a		b
		t
t
1	t
	t
	2
	Ðèñ. 5.5.1

76

73

75

				.ветственно
				2	1
/кгсоот-	иv–начальныйиконечныйудельныйобъемы,м				ãäåv
3
	1	2	l
.6.(52)	v,	Pv	l
.6.(52)
				ширениягаза,.е.т
гдеl–величинаработы1кггаза,котораяопределяетработурас-
	l,	v	P	q
.6.(51)	l,	q		q
.6.(51)
	теплабудетзатраченанасовершениеработы,.е.т
						v
q,подведенногоприпостоянномобъеме,.к.твпервомслучаечасть
			P
будетбольше,чемколичествотепла				чествоподведенноготеплаq
.неодинаковымПринагреваниигазаприпостоянномдавленииколи-
					1	2
–t),токоличествотепла,затраченногонанагреваниегаза,будет						(t
принагреваниитемпературагазавобоихцилиндрахповысиласьна
давлениеР;вправомцилиндреработасовершатьсяне.будетЕсли
левомцилиндре,совершитработурасширения,преодолеваяприэтом

âнаходящийся газ, следовательно, постоянным, остается правом

âа увеличивается, цилиндре левом в газа объем нагревании При

1.6.5.Ðèñ

V=const	P=const
V=const
á)	à)

постоянном.объеме дребудетнаходитьсяподпостояннымдавлением,авправом–при поршеньзакреплен.неподвижноТакимобразом,газвлевомцилинлениеР,иможетперемещаться;вправомцилиндре.(рис1,.6.5б) .(рис1,.6.5а)поршеньнагруженпостояннойсилой,создающейдавнойтемпературеиводинаковом.количествеВлевомцилиндре содержатьсяодноитожегазообразноетелоприодинаковойначальВозьмемдвацилиндра,одинаковыхпоразмеру,вкоторыхбудет

								74
				v		P			v
			.	C	,	C	,		C
			.	P	,		,
			c	P	c		cP
	P	v	P
,	c	,C	объемнымиимольными,исоответственнообозначаютсяC,C
,		,C	объемнымиимольными,исоответственнообозначаютсяC,C
Изохорнаяиизобарнаятеплоемкостимогутбытьмассовыми,
			P
			изобарнойиобозначаетсяC.
			v
вомслучаеназываетсяизохорнойиобозначаетсяC,авовтором–
ным,априпостоянномдавлении–.изобарнымТеплоемкостьвпер-
.давленииПодводтеплаприпостоянномобъеменазываютизохор-
совершаться,вчастности,припостоянномобъемеилипостоянном
Процесснагреваниярабочеготела(илиегоохлаждение)может

давлениииобъеме

.6.5Теплоемкостьвпроцессеприпостоянных

1

0

C

2

t

0

C

q

t.

1

2

t

всехслучаяхподсчетатеплапользуютсясреднимитеплоемкостями:

вычислятьколичествозатраченноготеплаоченьсложно,поэтомуво

таккаквпроцессеподводатеплаонанепрерывноизменяетсяи

Истиннойтеплоемкостьюприрасчетахобычнонепользуются,

дью1-2-b-а-1,расположеннойподкривой1-2.(рис5.5..1)

1

t

измеряетсязаштрихованнойплоща-

³Cdt

Графическиинтеграл

2

t

1

t

q

.5.(53)

.

³Cdt

2

t

,

Cdt

dq

цессе:

.5.(52)получитьвыражениедляподсчетаколичестватеплавпро-

Исходяизпонятияистиннойтеплоемкости,можноизравенства

номмасштабедаютзначенияистинныхтеплоемкостей.(рис5.5..1)

етсяистиннойтеплоемкостьюС.Так,ординаты1,аи2,bвопределен-

Теплоемкость,соответствующаяданнойтемпературегаза,явля-

dt

¼

1

2

t

¬

»

t

«

t0ο

C

.5.(52)

.

lim

dq

º

q

ª

P		a) T					á)
P	2
2	2					2
					T	2
					T
					2
							v = const
			2χ	T 1
		+q		1
		+q
P	1
1
		-q
					+q
	2χ			-q
	2χ
v	= v	v		S		S	S
1	2			1			2
			Ðèñ. 6.1.1

откуда видно, что изохоры нагревания направлены снизу вверх, а изохоры охлаждения – сверху вниз.

Аналитическое выражение первого закона термодинамики для изохорного процесса, в котором dv = 0, принимает вид

dq du .

(6.1.2)

Таким образом, в изохорном процессе все подводимое тепло расходуется на изменение внутренней энергии газа, а работа расширения равна нулю.

С другой стороны, согласно определению теплоемкости

dq	Cv dT è q					v T2 T1 ,
dq	Cv dT è q				C	v T2 T1 ,		(6.1.3)
поэтому
du							v T2 T1 ,
du	CvdT è u2 u1 C						v T2 T1 ,	(6.1.4)
		t2		t1
	q C		v t2 Cv t1.
	0			0

Поскольку внутренняя энергия является функцией состояния и ее изменение не зависит от характера процесса, приведенные формулы справедливы для любого процесса.

Принимая теплоемкость постоянной, изменение энтропии в изохорном процессе можно записать как

T2	dq	T2	dT		T
S2 S1 ³	dq	³Cv	dT		T
				Cv ln	2	.	(6.1.5)
	T		T	Cv ln	T	.	(6.1.5)
T		T			1
1		1

80

			Таблица 5.6.1

	ΠCv	ΠCp		k
Атомность газа
Атомность газа	кДж/(кмоль К)
	кДж/(кмоль К)

Одноатомные газы	12,6	20,9		1,67

Двухатомные газы	20,9	29,3		1,41

Òðåõ- и многоатомные газы	29,3	37,7		1,29

Пользуясь величиной k, найдем формулы для вычисления C и C .

									P v
Для этого в уравнение (5.6.5) подставим значение C									= kC , тогда
								P	v
kC – C = R èëè
v	v
				C		R	.		(5.6.7)
				C			.		(5.6.7)
				v	k 1
					k 1
Поскольку Cv		CP
Поскольку Cv			, то, подставляя в уравнение (5.6.7), получим
		k
				CP		R
èëè				k		k 1
èëè
				CP		k
				CP				R.	(5.6.8)
									(5.6.8)

k 1

Применение постоянных теплоемкостей допустимо только для приближенных расчетов, для точных расчетов необходимо учитывать зависимость теплоемкости от температуры.

5.7. Расчет теплоемкости газовой смеси

идеальных газов

В зависимости от способа задания смеси теплоемкость газовой смеси может быть рассчитана через массовые или объемные доли.

Допустим, что смесь, состоящая из нескольких идеальных газов, массы которых соответственно m , m , …, m , а их массовые тепло-

	1 2	n
емкости C , C , …, C , нагревается на 1°C. Количество тепла, под-
1 2	n

веденное к каждому газу,

77

79
		2		2
			T		P
.1.(61)		1,		1
			T		P

				ногогаза,еслипринятьv=const:
госостоянийможетбытьполученаизуравнениясостоянияидеаль-
Связьмеждутермическимипараметраминачальногоиконечно-
		отрезоквертикальнойпрямой1-2.(рис1,.1.6.а)
хоройивPv-координатахвыражаетсяуравнениемv=const,.е.т
Линия,изображающаяэтотпроцессграфически,называетсяизо-
рабочеготела,прикоторомегообъемостается.постоянным
Изохорнымпроцессомназываетсятакоеизменениесостояния
		.1.6Изохорныйпроцесс
-.координатах	Pv	внутреннейэнергии,атакжеизобразитьпроцессв
совершеннойработы,количествоучаствующеготеплаиизменение
зависимостьмеждупараметрамисостояния,определитьвеличину
Прирассмотренииосновныхпроцессовнеобходимоустановить
бочеготелаприналичиитеплообменасокружающей.средой
исходитодновременноеизменениевсехпараметровсостоянияра-
причемвсеониотносятсякполитропнымпроцессам,вкоторыхпро-
•адиабатный–процессбезтеплообменасокружающейсредой,
•изотермический–процессприпостояннойтемпературе;
	•изобарный–процессприпостоянномдавлении;
		•изохорный–процессприпостоянномобъеме;
						основнымиявляются
заменяютсоответствующимиравновесными.процессамиИзних
ляютсянеравновесными,однаковтехническойтермодинамикеих
вразличныхтеплотехническихустановках,вдействительностияв-
Всереальныепроцессыизменениясостояниягаза,происходящие
		СОСТОЯНИЯГАЗА
ОСНОВНЫЕПРОЦЕССЫИЗМЕНЕНИЯ
		Глава6

78

íûå.äîëè

ныхтеплоемкостейотдельныхгазов,входящихвсмесь,наихобъем-

.е.тмольнаятеплоемкостьсмесиравнасуммепроизведениймоль-

i

1

¦Π

ñì

.7.(53)

,

Cr

C

Π

n

икрометого

ii

1

n

2

11

¦

ñì

.7.(52)

Cr

r

C

r...

χ

C

Cr

χ

C

χ

n

объемнымидолями:

Аналогичнонайдемтеплоемкостьсмеси,еслипоследняязадана

1

.7.(51)

i

n

...C

2

C

1

ñì

.

¦Cg

g

Cg

C

n

èëè

nm

...C

m

2

m

1

ñì

C

n

2

1

m

откуда

n

2

C

1

ñì

C

,

m

m...C

Cm

m

Приравнивая(а)и(б),находим

ñì

–теплоемкостьгазовой.смеси

ãäåC

ñì

(á)

,

m

C

Q

Количествотепла,затраченноенанагреваниеmкгсмеси,равно

1

n

2

1

Q

¦q

(à)

.

m

CmCm...C

n

Сложивэтиравенствапочленно,получим

.

n

;;…

2

;

1

Cm

q

Cm

q

Cm

q

Материал: Белозеров В.И. Учебное пособие по курсу Техническая термодинамика (оригинал)

Смотрите также: