Документ: Белозеров В.И. Учебное пособие по курсу Техническая термодинамика (оригинал), страницы 26-30

51

T

¼

v

¬

0

©wT¹

v

dv.

P

,T³

uv

uv,T

·

P

§

T

.3.(3 10)

»

¸

¨

«

0

º

w

vª

.3.(32)

0

.Аналогичнодля

янии,имеющемтужетемпературуТ,нодругоеР

0

)–энтальпиявеществавнекоторомначальномсосто-

T

,

hP

здесь

(

T

¼

P

¬

0

wT¹

©

P

0

.3.(39)

dP,

»

·

v

T§

v

«

P,T³

h

hP,T

¸

w

¨

º

ª

P

Интегрируяуравнение6),.3.(3получаем

вычислятьтермическиесвойства.вещества

атакжерешитьобратнуюзадачу–поизвестнымuиh

÷èíûu,h,

P)),находитькалорическиевели-

кихсвойствахвещества(v=f(T,

Уравнения.3.(32)и.3.(36)позволяют,используяданныеотермичес-

значениедлятермодинамическихисследованийсвойств.веществ

Полученныеуравнения,особенно.3.(32)и.3.(36)имеютбольшое

T

©wv¹

v

wT¹

©

T

.

v

T

©wv¹

.3.(38)

¸

¨

¸

¨

¸

¨

§wP·

§wh·

Сучетом.2.(38)

T

wv¹

©

T

.

©wv¹

v

T

©wv¹

.3.(37)

¸

¨

¸

¨

¸

¨

§wP·

§wS·

§wh·

Аналогично

ческом.процессе

ЭтосоотношениехарактеризуетзависимостьhотРвизотерми-

P

©wT¹

T

.

vT

©wP¹

.3.(36)

¸

¨

¸

¨

§wv·

§wh·

сучетом.2.(37)

T

©wP

T

©

v,

¹

T

wP¹

.3.(35)

¸

¨

¸

¨

§wS·

§wh·

òî

Посколькуh=u+Pv,dh=TdS+vdP,

T

P

wT¹

©

T

.

©wP¹

P

T

©wP¹

.3.(34)

¸

¨

¸

¨

¸

¨

§wv·

§wu·

50

илисучетом.2.(37)

T

©wP¹

P

©wP¹

T

©wP¹

.3.(33)

¸

¨

¸

¨

¸

¨

§wv·

§wS·

§wu·

процессе:

ческом.процессеНайдемзависимостьuотРвизотермическом

Этосоотношениехарактеризуетзависимостиuотvвизотерми-

v

©wT¹

T

wv¹

©

P.

T

.3.(32)

¸

¨

¸

¨

§wP·

§wu·

T

©wv¹

из8),.2.(3находим

¸

Подставляя¨

§wS·

T

©

T

wv¹

©

P.

wv¹

T

.3.(31)

¸

¨

¸

¨

§wS·

§wu·

Из.2.(31)получим

внутреннейэнергиииэнтальпии

.3.3Частныепроизводные

v

¹

wP

©

T

©wS

¹

.2.(38)

.

¸

¨

¸

¨

§wT·

§wv·

Äëÿv,T

.4

T

P

©wT¹

.

©wP¹

.2.(37)

¸

¨

¸

¨

§wS·

§wv·

ÄëÿP,T

.3

v

©wP¹

S

¹

©wT

.2.(36)

.

¸

¨

¸

¨

§wS·

§wv·

Äëÿv,S

.2

S

¹

©wP

P

©wS¹

.2.(35)

.

¸

¨

¸

¨

§wT·

§wv·

Глава 4

ОБРАТИМОСТЬ

И ПРОИЗВОДСТВО РАБОТЫ

Будем рассматривать изолированную систему, которая способна совершать работу только в том случае, если она находится в неравновесном состоянии, т.е. чтобы давления или температуры различ- ных тел, входящих в эту систему, не были абсолютно одинаковы. Если в системе имеются тела с различными давлениями, то отсутствует механическое равновесие; если же есть тела с различными температурами, в ней отсутствует термическое (тепловое) равновесие. По мере производства работы изолированная система будет приближаться к равновесному состоянию.

Примеры

1). Имеется изолированная система, состоящая из окружающей среды, Т и Р которой практически остаются неизменными, и сжатого воздуха с той же температурой Т, но более высоким давлением

Ð>P (ðèñ. 4.1).

ñ.â.

P, T
P	, T
	ñ.â.

Ðèñ. 4.1

Такая система находится в термически равновесном, но в механически неравновесном состоянии. Подобная система может совершать работу, например, перемещая поршень в цилиндре до тех пор,

пока давление не выровняется Р =P, т.е. пока система не придет в

ñ.â

механическое равновесие.

2). Имеется изолированная система: холодный источник (ХИ), горячий источник (ГИ), рабочее тело (РТ), т.е. имеем дело с терми- чески неравновесной системой, которая может совершать работу,


	§ wS ·			,
Cv	T ¨	¸			(3.4.3)

	© wT ¹v
с учетом того, что v=const, TdS=dU, получаем
	§ wU ·
Cv	¨		¸ .		(3.4.4)

	© wT ¹v

Аппарат дифференциальных уравнений термодинамики позволяет установить ряд важных соотношений для теплоемкостей.

Дифференцируя соотношение h = u + Pv по Т при р= const, полу- чаем

§ wh ·		§ wu ·		§ wv ·
¨	¸	¨	¸	P¨	¸ .	(3.4.5)

© wT ¹P		© wT ¹P		© wT ¹P

§ wu ·

Для перехода от ¨ ¸ © wT ¹P

§ wu ·

¨ ¸ © wT ¹P

§ wu ·

к ¨ ¸ применяем уравнение (3.1.8)

§ wu ·		§ wu ·		§ wv ·
¨	¸	¨	¸	¨	¸ .

© wT ¹v		© wv ¹T © wT ¹P

Используя выражение (3.3.2), получаем

§ wu ·

§ wP ·

§ wv ·

¨

¸

Cv

T ¨

¸

¨

¸

P¨

¸

,

после подстановки в (3.4.5)
CP Cv	§ wP ·		§ wv ·
	T ¨	¸	¨	¸ .	(3.4.6)

	© wT ¹v © wT ¹P

Для идеального газа
§ wP ·		P	,	§ wv ·		v R	,
¨	¸			¨	¸
		T				T P
© wT ¹v				© wT ¹P
следовательно,

Ñ – C = R.

Pv

Это выражение называется уравнением Майера.

56

53

55

		v
	.		¹
.4.(313)	.		¸
		2	·
		2
		P	¹
	,		¹
.4.(312)	,		¸
		2	·
		2

©wT

v

C

T

S

©wv¹

¨

¸

¨

¸

¨

§wP

T

§wP·

©wT

P

C

T

©wP¹

S

©wP¹

¨

¸

¨

¸

¨

§wu

T

§wv·

щиедвасоотношения:

Комбинируяэтоуравнениес6),.4.(3нетруднополучитьследую-

T

v

S

©wv¹

C

.4.(311)

.

¸

¨

¸

¨

P

§wP·

C

§wP·

Деля.4.(37)на8),.4.(3получаем

v

¹

©wT

T

¹

wv

©

2

.4.(310)

.

¸

T¨

¸

¨

v

§w2P·

·

§wC

54

длязависимоститеплоемкостиCvотобъема

Аналогичнымобразомизуравнения.3.(32)получаемуравнение

P

¹

©wT

T

wP

©

2

¹

.

T

¸

¨

¸

¨

P

.4.(3 9)

v

C

·

§w2

·

§

w

то,следовательно,

T

¼

P

wT¹

¬wP©

P

¼

T

wP¹

©

wT

¬

wPwT

,

»

¸

¨

«

»

¸

¨

«

º

wh·

§

w

ª

º

§wh·

w

ª

w2h

Поскольку

P

©

¹

©

¹

2

wT

wPwT

.

¸

¨

T

¸

¨

w2v·

§

·

h

w2

§

Дифференцируяуравнение.3.(36)поТприр=const,получим

T

wv

©

T

wP

©

¹

.

¸

¨

è

¸

Найдем¨

·

v

§

·

P

§wC

wC

S

©wT¹

v

wT¹

©

v

.4.(38)

.

¸

¨

¸

¨

T

C

§wv·

§wP·

учитывая6),.2.(3

v

¹

wT

©

v

wP¹

©

v

¹

wT

©

¸

¨

¸

¨

v

¸

¨

v

,

§wP·

wS·

§

T

;C

·

§wS

T

C

Аналогично

P

©wT¹

S

wT¹

©

.

T

P

C

.4.(37)

¸

¨

¸

¨

§wv·

§wP·

ИспользуяуравнениеМаксвелла5),.2.(3получаем

P

¹

wT

©

P

wv¹

©

.

¸

¨

¸

¨

T

P

C

wv·

§

§wS·

P

©

wT¹

P

можнопредставитьввиде

¸

¨

T

C

Уравнение

§wS·

ÃÈ ÕÈ

довательно, не может быть использована по нашему усмотрению. Однако уравнение (**) не дает величину максимальной полезной работы, т.к. не обусловливает обязательной обратимости всех про-

текающих в системе процессов.

Для нахождения максимальной полезной работы (работоспособности) изолированной системы воспользуемся тем положением, что при протекании обратимых процессов энтропия системы не изменяется.

Отсюда следует, с учетом аддитивности энтропии, что если энт-

ропия источника работы уменьшилась на (S – S ), то энтропия сре-

1 2

ды должна возрасти на ту же величину, т.е.

S1 S2 S02 S01 ,

а, следовательно, для изолированной системы

Lmax

U

1

U

2

T

S

2

P

V

V .

(***)

полез

0

1

0

2

1

Как видно из уравнения, величина максимальной полезной рабо-

ты системы однозначно определяется параметрами ИР и парамет-

рами среды.

Рассмотрим несколько конкретных примеров определения Lmax .

полез

1). На рис. 4.4 точка 1 – начальное состояние ИР (обладает свой-

ствами идеального тела); точка 2 – состояние ИР, соответствующее

параметрам Р , Т .

0

Точки 1 и 2 лежат на изотерме среды, т.е. изолированная систе-

ма, состоящая из ИР и среды, находится в термическом равновесии,

но не механическом (Р > Р ). Ее можно определить либо по уравне-

1

0

нию (***), либо графически с помощью

Pv-диаграммы (рис. 4.4).

P

а). Работоспособность системы ока-

1

жется исчерпанной, если ИР из состояния

P

1

1 перейдет в состояние 2, т.е. когда сис-

T = const

тема достигнет равновесного состояния.

0

Для того, чтобы L была максимально воз-

c

2

P

можной, необходим обратимый процесс,

2

который может протекать либо при отсут-

ствии теплообмена между ИР и средой

a

b

v

(адиабатное расширение или сжатие),

Ðèñ. 4.4

например, многократный цикл Карно. В результате совершается работа и одновременно часть тепла от ГИ передается ХИ, т.е. температура ГИ понижается, а ХИ повышается (если нет предположения о бесконечно большой величине источников). Таким образом, с течением времени Т = Т , т.е. система достигнет термического равновесия, и дальнейшее производство работы станет невозможным.

Вывод: производство работы изолированной системой возможно

âпроцессе перехода системы из неравновесного состояния в равновесное, причем величина работы зависит от характера процесса перехода системы к равновесному состоянию.

Однако с точки зрения величины произведенной работы далеко не безразлично, каким путем система переходит из неравновесного

âравновесное состояние.

3). Имеется термически неравновесная система из ГИ, ХИ и РТ. Через некоторое время система будет термически равновесной, но

L=0. Такой процесс должен происходить при конечной разности температур, т.е. необратимо (рис. 4.2, а). Максимальная работа L при переходе системы из неравновесного в равновесное состояние может быть получена в результате неоднократного совершения РТ

цикла Карно, в котором T íàèá		T	è T íàèì	T (ðèñ 4.2, á).
ÐÒ		ÃÈ	ÐÒ	ÕÈ
à)			á)
	ÃÈ				ÃÈ

					Q
				1		L
						L
	Q
					Q
				2

	ÕÈ				ÕÈ

Ðèñ. 4.2

4). Имеется механически неравновесная изолированная система, состоящая из среды и сжатого воздуха (рис. 4.3).

Ðèñ. 4.3

60

57

59
																																			1	2	0
–V),котораязатрачиваетсянасжатиесреды,и,сле-																																					частьееP(V
	01		02		0							2								1
)вычитается	–S			–U)–T(S																	извсейпроизведеннойработы(U
стемойприпереходеизнеравновесногосостояниявравновесное,.к.т
Этоуравнениедаетзначениеполезнойработы,произведеннойси-
	.	1		2			0						01			S					02		S			0					2	U		1	U	L
(**)	.	V			V			P								S							S			T						U			U	L

																																				аследовательно,
									,		01			S						02		S			0			0
									,					S								S			T				Q
																		литьпоприращениюэнтропиисреды
Тепло,переданноеотисточникаработыксреде,можноопреде-
			.		1			2					0							0						2					1
													QP																						L
					VV								QP														UU								L
																														подставляяв(*),получим
				,		1			2						0						0							02					01
						V										P						Q							U					U
						V				V						P						Q							U					U
																																				следовательно,
												1							2					0				0
									,				V											P				L
									,				V							V				P				L
																																					.ê.ò
								,	0								0						01		U			02		U
								,	Q									L							U					U
	Всоответствииспервымзакономтермодинамики
																																			наяИРнад.средой
					0																																0
–работа,совершен-					ПустьQ–тепло,переданноеИРсреде;L
																																					.среды)
метого,ИРможетсовершатьработунадсредой(противдавления
НомеждуИРисредойможетсуществоватьтеплообмен,а,кро-
						.		02	U						01										2	U			1					L
						.			U																	U								L
(*)
																																					èëè
										ñèñò											ñèñò							L
													Uχχ											Uχ				L
											счетуменьшенияеевнутреннейэнергии
Посколькусистемазамкнута,тоработасовершаетсятолькоза
									.		02									2						ñèñò
											02			U						2	U						Uχχ
														U							U						Uχχ
																																					авконечном

58

,

01

1

ñèñò

U

Uχ

номсостоянии

Суммарнаявнутренняяэнергиясистемывначальномнеравновес-

конечнаявнутренняяэнергия.среды

02

01

–

–начальнаявнутренняяэнергиясреды;U

средысостоянии);U

параметрыИРвконечномсостоянии(вравновесномвотношении

2

1

–

–параметрыИРвначальномсостоянии;U,V

ПустьU,V

весная,аследовательно,онаспособнасовершить.работу

0

ζ

0

ζ

Т,тоизолированнаясистема–неравно-

Ò

Ðè

ПосколькуР

метрыИР(равныепараметрам.среды)

0

–конечныепара-

ПустьР,Т–начальныепараметрыИР;Р,Т

.бирается)

изменными.е.(тнезависятоттого,сообщаетсятеплосредеилиот-

0

параметрысреды,которыеостаютсяне-

èÒ

ОбозначимчерезР

максимальнополезной.работы

Определимпонятияполезнойработы,максимальнойработыи

источникомработы.(ИР)

Этусовокупностьтелбудемименовать

отличныеотсредыРиТ.

щаяизокружающейсредыинекоторойсовокупностител,имеющих

Представимсебе,чтоимеетсяизолированнаясистема,состоя-

понашему.усмотрению)

тачастьпроизведеннойработы,котораяможетбытьиспользована

ниеработоспособностисистемы(подполезнойработойпонимается

работы,которуюможетсовершитьсистема,илииначе–определе-

Важнаязадача–численноеопределениемаксимальнополезной

цессы,протекающиевсистеме,былиполностьюобратимы.

неравновесногосостояниявравновесноенеобходимо,чтобывсепро-

.2Дляполучениянаибольшейработыприпереходесистемыиз

стемыоказывается.исчерпанной

Последостиженияравновесногосостоянияработоспособностьси-

ковтомслучае,еслионанаходитсявнеравновесном.состоянии

.1Изолированнаясистемаспособнакпроизводствуработытоль-

Такимобразом,мыпришликдвумважным.выводам

вполностьюобратимом.процессе

работабылабыполучена,еслибытрениеотсутствовалововсе,.е.т

.драНотрениеестьтипичныйнеобратимый.процессНаибольшая

тембольше,чемменьшетрениемеждупоршнемистенкамицилин-

Ясно,чтоприпрочихравныхусловияхполученнаяработабудет

Материал: Белозеров В.И. Учебное пособие по курсу Техническая термодинамика (оригинал)

Смотрите также: