Документ: Белозеров В.И. Учебное пособие по курсу Техническая термодинамика (оригинал), страницы 81-85

âûõ 1 2

Расчет скорости истечения реальных газов, как было отмечено ранее, проводится по уравнениям (12.1.7) или (12.1.8) с помощью hS-

диаграмм или P-, v-, T-данных. Площадь выходного сечения сопла подсчитывается по уравнению (12.4.4), которое справедливо для течения любых сред.

12.5. Адиабатное течение с трением

Рассмотрим истечение газа с учетом трения о стенки канала. Процесс течения считаем адиабатным. Вместе с тем очевидно, что

этот процесс необратим – при течении выделяется тепло трения (q )

òð

и энтропия потока увеличивается:

dq

dS	òð
dS	.	(12.5.1)

T

Рассмотрим, как изображается процесс истечения с трением на

hS- и TS-диаграммах (рис. 12.5.1, 12.5.2).

Если бы истечение было обратимым, без трения, то процесс изоб-

ражался бы на hS- и TS-диаграммах отрезком изоэнтропы S = S =

1 2

= const, заключенным между изобарами P и P (между точками 1 и

1 2

2), а скорость на выходе из сопла w определялась бы как (h – h ). Вследствие необратимых потерь при трении энтропия газа в процессе истечения возрастает и действительная адиабата отклоняется от изоэнтропы вправо (рис. 12.5.1). Далее, поскольку расширение газа в потоке с трением и без трения происходит до одного и того же

h
1		P = const
		1

h
1
		P = const
		2
h		2ä
2ä

h
2	2
	2
S	S	S
2	2ä
Ðèñ. 12.5.1

T
	P = const
1		1
1
T
1
		P = const
		2
T	2ä
2ä

T
2
2
I	II	S
Ðèñ. 12.5.2

Åñëè w <<w , òî

12

ª

§ P2

·

k 1

º

k

«

k »

w

2

Pv

1

¨

¸

»

.

(12.4.3)

k 1

P

2

1 1

«

©

1

¹

»

¬

¼

Как видно из этого уравнения, скорость истечения газа из сопла

w тем больше, чем меньше величина отношений давлений.

2

Расход газа через сопло G вычисляется следующим образом. Объем газа V, вытекающий из сопла в единицу времени, равен

V v2G,

где v – удельный объем в выходном сечении сопла.

2

С другой стороны, величина V может быть определена как

V Sw2 ,

где S – площадь выходного сечения сопла, откуда получаем

G Sw2 .

(12.4.4)

v2

Заменяя в этом соотношении v с помощью уравнения адиабаты,

2

представленного в виде

1

1 §¨ P2 ·¸k 1 , v2 © P1 ¹ v1

получаем

					1
	Sw		§ P		·
						k
G		2	¨	2	¸ .		(12.4.5)
	v1			P1
			©		¹

Подставляя сюда значение w из уравнения (12.4.3), имеем

2

ª

2

k 1

º

k

P

§ P

·k

§ P ·

k

êã

G S

2

1

«¨

2

¸

¨

2

¸

»

,

.

(12.4.6)

k 1 v

P

«

¹

©

¹

»

c

1

«©

1

»

¬

¼

164

161

163

поуравнениям.4.(128)и4.(12..9)

1

C

êð

2

,

êð

P

ирасчетведетсятакже

>P

òîP=P

\

Hаконец,если

C

P

уравнения.4.(128)и4.(12..9)

1

êð

C

2

êð

\

P

идлярасчетаследуетприменить

òîP=P=P

,

Åñëè

C

P

ÿì.4.(123)è4.(12..6)

1

C

2

,

êð

P

ирасчетистеченияследуетвестипоуравнени-

òîP=P

!\

C

P

êð

\

1

Ñ

определяемойуравнением4.(12..7)Если

,

/Рсвеличиной

Ð

C

1

,нужносначаласравнитьотношение

èP

заданныхзначенияхP

Приступаякрасчетуистеченияидеальногогазаизсоплапри

1¹

©k

1

.

k1v

S

ìàêñ

.4.(129)

¸

¨

2

G

1

·k1

2

§

k

P

2

дачерезсоплополучимиз.4.(126)сучетом7):.4.(12

Соответственновыражениедлявеличинымаксимальногорасхо-

.4.(128)

1

k1

êð

.

Pv

k

2

w

c

êð

\

:

нение3),.4.(12найденноепоуравнению7),.4.(12значение

газаизсоплапримаксимальномрасходе,нужноподставитьвурав-

Чтобыполучитьиз.4.(123)выражениедляскоростиистечения

.

©k1¹

êð

.4.(127)

¸

¨

\

2

·k1

§

k

êð

ìàêñ

,имеем

\

через

G=G

äëÿ

\

Обозначаявеличину

.0

\k

k

\k

k

1

k

1

2

1

2

нулю,получаем

иприравниваяк

\

ратных.скобкахДифференцируяэтуразностьпо

дадостигаетмаксимальногозначенияразность,заключеннаявквад-

.4.(126)на.максимумВеличинаGдостигаетмаксимуматогда,ког-

162

êð

.Ðèñ3.4.12

P.Сэтойцельюисследуемуравнение

снижениидавлениясредыдовеличины

ñ

Выясним,чтопроисходитвсоплепри

P

î

45

êð

ческомудавлениюP.

êð

P

остаетсяпостояннымиравнымкрити-

2

лениегазаввыходномсечениисоплаP

êð

c

äàâ-

истекаетгазиз.соплаПриP<P

пларавнодавлениюсреды,вкоторую

давлениегазаввыходномсечениисо-

êð

2

Каквидноиз3,.4.12.рисприP>P

P

.2.4.12

ком,представленнымнарис.

Сказанноеиллюстрируетсяграфи-

правильностьэтой.гипотезы

êð

.Дальнейшиеисследованиядоказали

сяпостояннымиравнымP

êð

,давлениегазаввыходномсеченииостает-

засоплом,меньшихP

дугазачерезсопло,.е.тприскольугоднонизкихдавленияхсреды

êð

,соответствующегомаксимальномурасхо-

давленияистеченияP

сясопленевозможнополучитьдавлениегазанижекритического

Венанвыдвинулгипотезу,чтоприрасширениигазавсуживающем-

объясненияэтогорасхождениятеориисэкспериментомв1839.гСен-

ходагазачерезсопло;расходгазаGоставался.постояннымДля

уменьшениедавлениясредызасопломневлиялонавеличинурас-

êð

d\d\

0

Экспериментальныеисследованияпоказали,чтопри

\

=.0

нольпри

.Затем,согласно.4.(126)Gуменьшается,обращаясьв

\

значении

личинаGначинаетвозрастать,достигаямаксимумапринекотором

âå-

\

=1G=.0Приуменьшении

\

(кривая1-k-.0)Очевидно,чтопри

.Ðèñ2.4.12

вид,представленныйна.рис2.4.12

1êð

2

1

/P)

(P

вает,чтоэтазависимостьимеет

0

\

),показы-

чимэтувеличинучерез

1

Ñ

(обозна-

Ð

6),.4.(12отвеличины

/

расходаG,задаваемойуравнением

Анализхарактеразависимости

площадьвыходногосечения.сопла

конечнымпараметрамгазанайти

max

G

позаданнымрасходу,начальными

k

можнорешитьиобратнуюзадачу–

Спомощьюэтогоуравнения

G

òåõí òð

M 2 1

dw

df

1

§

wv

·

dq

1

dl

¨

¸

2

w

f

vCP © wT

¹P

g

c

1

§ wv ·

1

(12.6.10)

¨

¸

dqòð

dlòð

dz.

c

2

c

2

vCP © wT

¹P

Учитывая, что dq

= dl

, имеем

òð

M 2 1

dw

df

1

§

wv

·

dq

¨

¸

w

f

vCP © wT

¹P

ª 1

§ wv ·

1

º

g

«

¨

¸

»dlòð

c

2

c

2

¬vCP © wT ¹P

¼

1
		dlòåõí
	c2
		(12.6.11)
dz.

Проанализируем полученное соотношение. В случае, когда

q= 0, l = 0, dz = 0, уравнение (12.6.11) превращается в уже изве-

âíåø òð

стное нам уравнение

M 2 1	dw	df	.
	w
		f

Для случая течения в трубе постоянного сечения (df = 0) при

l= 0, l = 0 и dz = 0, но при наличии подвода (или отвода) тепла к

потоку получаем из (12.6.11)

M 2 1

dw

1

§

wv

·

dq .

(12.6.12)

w

¨ ¸

âíåø

vCP © wT ¹P

P

§ wv ·

¨

¸

Поскольку всегда C > 0 и обычно

>0, òî èç (12.6.12) ñëå-

дует, что в дозвуковом потоке (М < 1) подвод тепла (dq

> 0) ïðè-

âíåø

водит к ускорению потока (dw > 0), отвод тепла – к его торможению. При подводе тепла газ в потоке расширяется, и его скорость увеличивается. Любопытно отметить, что дозвуковой поток жидко-

§ wv ·

сти, у которой ¨ ¸ < 0 (вода при t < 4°С), будет замедляться при

подводе к нему тепла.

Соответственно в сверхзвуковом потоке (М > 1) подвод тепла, как видно из (12.6.12), приводит к торможению потока, а отвод тепла – к

давления на выходе из сопла p , то очевидно, что точка действитель-

2

ного процесса будет лежать на той же изобаре, но правее точки 2

(точка 2д относится к истечению с трением), поскольку S > S .

2ä 2

Поскольку изобары на hS-диаграмме имеют положительный наклон, то

h > h ,

2ä 2

следовательно, и скорость истечения с трением будет меньшей, чем при течении без трения. Поскольку w < w, то можно записать

ä
wä Mw,	(12.5.2)

где M – так называемый скоростной коэффициент, величина которого меньше единицы. Величина M лежит в пределах 0,95–0,98.

Потеря энергии потока на преодоление трения (обозначим ее 'E )

òð

может быть выражена как уменьшение кинетической энергии потока на выходе из сопла при истечении с трением по сравнению с истечением без трения:

'Eòð	w2 w2			,			(12.5.3)
'Eòð		ä		,			(12.5.3)
	2
откуда с учетом (12.5.2)
'Eòð	1 M2				w2	,	(12.5.4)
'Eòð	1 M2					,	(12.5.4)
				2
ãäå 1 M2 [ – коэффициент потери энергии, тогда
'Eòð [		w2	.				(12.5.5)
'Eòð [			.				(12.5.5)
		2
Поскольку
w	2 h1 h2
и, естественно,
w	2 h h			,			(12.5.6)
ä	1	ä
величина 'E может быть выражена как
òð
'E	h	h .					(12.5.7)
òð	2ä	2

Hаконец, из (12.5.5) получаем

168

165

167

dw	группируячлены,содержащие
,влевойчастиуравнения,получим
ПодставляяэтосоотношениедляvdPвисходноеуравнение(*)и

¼

P

C

P

¹

v©wT

w

f

¬

.

òð

âíåø

¸

¨

c2

vdp

.6.(129)

»

«

dqº

dq

1§wv·

dw

ªdf

Сучетом6.(12..6.(12–6)8)получаемиз.6.(125)

.6.(128)

.

T

dS

òð

âíåø

dq

адифференциалэнтропии

¹

w

f

©

.6.(127)

,

¸

¨

v

dv

dw·

§df

тогда

,

w

v

f

разрывностивдифференциальнойформе

dw

dv

df

Входящийв.6.(125)дифференциалdvвыразимизуравненияне-

.6.(126)

.

2

v

wv

2

c

wP

S

©wv¹

v2

c

следует,что

¸

¨

ИзуравненияЛапласа

§wP·

¼

P

C

P

©wT¹

¬

S

©wv¹

.

dS

dv

dP

.6.(125)

»

¸

¨

«

¸

¨

T

P

º

v·

§

ª

·

§

w

Сучетомэтогосоотношениянаходимиз.6.(121)

P

C

P

©wT¹

S

©wv¹

v

wS¹

©

.

.6.(124)

¸

¨

¸

¨

¸

¨

T

§wv·

§wP·

тоиз.6.(122)получаем

166

P

C

P

wq¹

©

P

¹

wS

©

,

¸

¨

T

¸

¨

T

·

T

§

T·

§

w

à

P

¹

©wS

P

¹

©wT

P

¹

©wS

.6.(123)

,

¸

¨

¸

¨

¸

¨

§wT·

§wv·

поскольку

P

©wS¹

S

wv¹

©

v

wS¹

©

,

.6.(122)

¸

¨

¸

¨

¸

¨

§wv·

§wP·

можнопредставитьввиде

y

©wx¹

x

wz¹

©

z

wy¹

©

v

ws¹

©

1

¸

¨

¸

¨

¸

¨

сучетом

¸

¨

Частнуюпроизводную

x

z·

§

y·

§

P·

§

w

§w·

w

v

wS¹

©

S

©wv¹

.6.(121)

dS.

¸

¨

dv

¸

¨

dP

wP·

§

§wP·

ЗначениеdPможетбытьвыраженоследующимобразом:

нияовозможныхспособахускорения.потока

Анализэтогоуравненияпозволяетсделатьинтересныезаключе-

.

òð

òåõí

(*)

dl

vdPgdzdl

wdw

случайтечения:

Рассмотримтеперьуравнение,описывающеенаиболееобщий

	Законобращениявоздействий
	.6.12Общиезакономерности.течения
	бытьнайдены(определены)термодинамическим.путем
дляреальныхканалов,конечно,немогут						[	è	M	Коэффициенты
						[		M
	2		1	2	2ä
.5.(129)	2		1	2
.5.(129)	.	h[hh			h
		h[hh			h
									8),.5.(12имеем
Приравниваямеждусобойправыечастиуравнений.5.(127)и
			2	1	òð
			2	1	'E
.5.(128)	.	[hh			'E
.5.(128)	.

Tà.ò	T	k 1	w2 .	(12.7.5)

		2kR
С учетом того, что для идеального газа c				kRT , выражение

(12.7.5) для температуры адиабатного торможения можно преобразовать к виду

T	T	§	1	k 1	M	2	·	.
		¨					¸		(12.7.6)
				2					(12.7.6)
à.ò
		©					¹

Понятие о температуре адиабатного торможения широко используется в различных аэрогазодинамических расчетах. Всякий измерительный прибор, помещенный в поток, покажет температуру, близкую к температуре адиабатного торможения.

172

его ускорению.
Hа этих выводах основан
принцип устройства так называ-
емого теплового сопла. Тепло-
вым соплом называется труба
постоянного сечения, поток в
которой ускоряется за счет под-	Q		Q
которой ускоряется за счет под-	âíåø		âíåø
вода или отвода тепла через		Критическое
стенки трубы (рис. 12.6.1).		сечение
До тех пор, пока скорость по-		Ðèñ. 12.6.1
		Ðèñ. 12.6.1
тока не достигнет скорости зву-

ка, к нему нужно подводить тепло. После того, как скорость потока станет звуковой, дальнейшее ускорение потока достигается за счет отвода тепла от сверхзвукового потока.

Тепло к потоку может подводиться (или отводиться) не только через стенки трубы, но и за счет тепла химической реакции, проис-

ходящей в потоке газа.

Рассмотрим процесс течения в негоризонтальной (dz z 0) трубе

постоянного сечения при dq = 0, dl		= 0, dl = 0. Для этого слу-
âíåø		òð			òåõí
чая из (12.6.11) получаем
M 2 1	dw		g	dz.	(12.6.13)
	w
			c2

Из соотношения следует, что дозвуковой (М < 1) поток газа, движущийся вверх (dz > 0), ускоряется (dw > 0), а сверхзвуковой (М > 1) поток, движущийся вверх, замедляется (dw < 0).

Эти выводы представляют интерес для анализа процессов исте- чения природного газа из скважин (сечение которых постоянно по высоте).

В случае адиабатного потока в трубе постоянного сечения при

dl = 0 и dz = 0, но при наличии потерь энергии на трение получим

òåõí

M

2

1

dw

ª

1

§ wv ·

1

º

«

¨

¸

»dlòð .

(12.6.14)

w

c

2

¬vCP © wT ¹P

¼

Из (12.6.14) следует, что при М<1 поток с трением ускоряется (dw > 0) до звуковой скорости, но перейти через скорость звука он не сможет, поскольку для этого нужно было бы отводить тепло от потока, а тепло трения всегда подводится к потоку. Hевозможность в

169

Материал: Белозеров В.И. Учебное пособие по курсу Техническая термодинамика (оригинал)

Смотрите также: