Материал: Аппроксимационные методы измерений периодических сигналов

Относительная взвешенная среднеквадратическая погрешность аппроксимации сигнала  равна:

. (1.5)

Погрешность (1.7) является несоответствием модели виду сигнала и свойствам оценок параметра.

Метрологическая аттестация выводов по суммарной погрешности аппроксимации сигнала моделью в практических задачах используется редко. В большинстве случаев конечной стадией измерений и обработки является числовые, как правило, интегральные характеристики сигналов. В этом случае цель сводится к анализу влияния отдельных переменных на погрешности определения характеристик. В случае детерминированных задач такими влияющими факторами служыт несоответствие модели виду сигнала, нестабильность параметров сигнала. Закон трансформации составляющие погрешность в результирующую определяется последовательностью преобразования результатов отдельных измерений в нужную оценку, что делает задачи специфичными для каждой области приложения.

В общем случае для характеристики влияния составляющих погрешности, обусловленных несоответствием моделей виду сигналов, на погрешность результата измерения той или иной интегральной характеристикой сигнала , определяемой в соответствии с (1.4), можно использовать следующую методологию.

. С помощью рассчитанного значения интегральной характеристики реального сигнала и определения относительной погрешности:

, (1.6)

где  - рассчитанное значение интегральной характеристики, определеляемое для реального сигнала.

Такой метод используют для прогнозирования погрешности и выявления области применяемости методологии определения интегральной характеристики в соответствии (1.4) исходя из требования по точности при известных спектрах реального сигнала.

. С помощью вычислений погрешности определения интегральных характеристик как функций, аргументы которой заданы приближенно с погрешностью, соответствующей отклонению модели от реального сигнала.

Как известно, погрешность вычисления значения какой-либо функции, аргументы которой заданы приближенно, может служить оценка с помощью которой дифференциала этой функции. Погрешности функции есть не что иное как возможное приращение функций, которое она получит, если ее аргументам дать приращения, равные их погрешностям. Так как погрешности бывают обыкновенно достаточно не значительны, то практически вполне допустима замена приращений дифференциалами. В случае если известны только предельные абсолютные погрешности аргументов, то при расчете дифференциалов необходимо для всех производных брать их абсолютные значения.

В зависимости от того как оцениваются отклонения модели от реального сигнала, возможны три варианта к определения погрешности.

Считая, что предельная абсолютная погрешность аргументов соответствует наибольшему отклонению, определяемому в соответствии (1.5), то для интегральной характеристики  абсолютная погрешность будет равна:

. (1.7)

Если думать, что значение абсолютных погрешностей аргументов определяется через среднеквадратическую погрешность  в соответствии с (1.6), то

. (1.8)

Если абсолютные погрешности аргументов соответствуют действительным разностям между мгновенными значениями реального сигнала и модели в точках :

; … ,

то:

. (1.9)

При использовании этого метода относительная погрешность равняется

. (1.10)

. Третий метод предусматривает экспериментальное определение погрешности. Для этого измеряется интегральная характеристика  образцовыми средствами измерения с метрологическими характеристиками, обеспечивающим возможности его использования в условиях реального сигнала, и сравнение с результатом измерения Y прибором, использующим аппроксимационный метод (1.4).

Практическое использование рассматриваемой методологии характеристики влияния составляющих погрешности, обусловленных несоответствием модели виду сигнала, на результат измерения будет рассмотрено ниже.

Все эти особенности использования аппроксимационного подхода к определению параметров квазидетерминированных сигналов и метрологическому анализу результатов позволяют нам обобщить принцип, метод и средства определения информативных параметров сигналов, основанные на определении этих параметров по функциональной связи с параметрами модели, выбираемой на основе той информации об объекте исследования, и метрологическом анализе результатов измерения из-за несоответствия модели реальному сигналу.

2. Исследование методов измерения параметров гармонических сигналов, основанных на формировании дополнительных сигналов

.1 Классификация методов измерения параметров гармонических сигналов, основанных на формировании дополнительных сигналов

Уменьшением времени измерения могут служить методы, основанные на выявлении дополнительных сигналов, сдвигаемых по фазе относительно входных, и определении ИПГРС по мгновенным значениям главных и дополнительных сигналов.

При характеристике методов измерения ИПГРС, основанных на формировании определенных сигналов, в качестве классификационных признаков используются: род дополнительных сигналов (формирование ортогональных составляющих сигналов или сигнала, сдвинутого относительно входных на произвольный угол); количество формируемого дополнительного сигнала (один, два и более); связь с характерными точками сигналов (переходы через ноль) и их количество; применение образцовых интервалов времени (рис. 2.1).

Исключая разные друг к другу операции, формирование одного или более дополнительных сигналов; связь или отсутствие связи с характерными точками сигналов; использование или игнорирование образцовых интервалов времени), можно условно отметить шесть групп, характеризующих принципы синтеза методов.

Первая группа состоит из методов, основанных на формировании одного дополнительного сигнала, не использующая характерные точки сигналов.

Для этой группы возможно синтезировать и такие методы.

При использовании ортогональных составляющих сигналов: I-AC-E; I-AC-G (формирование именно дополнительного напряжения); I-BC-E; I-BC-G (формирование именно дополнительного тока); I-AC-BC-E; I-AC-BC-G (формирование дополнительных сигналов как напряжения, так и тока).

Рис. 2.1

среднеквадратический аппроксимационный сигнал

При использовании других сигналов, сдвинутых на какой-то угол: II-AC-E; II-AC-G (формирование именно дополнительного напряжения); II-BC-E; II-BC-G (формирование именно дополнительного тока); II-AC-BC-E; II-AC-BC-G (формирование дополнительных сигналов как напряжения, так и тока).

Ко второй группе относятся методы, основанные на формировании одного дополнительного сигнала, связанное с характерными точками одного из сигналов.

К этой группе можно отнести следующие методы.

При использовании ортогональных составляющих сигналов: I-AC-EH; I-AC-GH (формирование именно дополнительного напряжения); I-BC-EH; I-BC-GH (формирование именно дополнительного тока.); I-AC-BC-EH; I-AC-BC-GH (формирование дополнительных сигналов как напряжения, так и тока.)

При использовании дополнительных сигналов, сдвинутых на произвольный угол: II-AC-EH; II-AC-GH (формирование именно дополнительного напряжения); II-BC-EH; II-BC-GH (формирование именно дополнительного тока); II-AC-BC-EH; II-AC-BC-GH (формирование дополнительных сигналов как напряжения, так и тока).

Третья группа состоит из методов, основанных на формировании одного дополнительного сигнала, связанных с характерными точками двух и более сигналов.

Для этой группы можно синтезировать следующие методы.

При использовании ортогональных составляющих сигналов: I-AC-EJ; I-AC-GJ (формирование именно дополнительного напряжения); I-BC-EJ; I-BC-GJ (формирование именно дополнительного тока); I-AC-BC-EJ; I-AC-BC-GJ (формирование дополнительных сигналов как напряжения, так и тока).

При использовании дополнительных сигналов, сдвинутых на произвольный угол: II-AC-EJ; II-AC-GJ (формирование только дополнительного напряжения); II-BC-EJ; II-BC-GJ (формирование только дополнительного тока); II-AC-BC-EJ; II-AC-BC-GJ (формирование дополнительного сигнала как напряжения, так и тока).

К четвертой группе отнесены методы, основанные на формировании двух дополнительных сигналов напряжения, либо тока, либо как напряжения, так и тока, не использующие характерные точки сигналов.

С учетом того, что формирование двух дополнительных ортогональных составляющих одного сигнала не возможно, то для этой группы могут быть синтезированы только методы, использующие дополнительные сигналы, сдвинутые на отличный от 90° угол: II-AD-E; II-AD-G (формирование двух дополнительных сигналов напряжения); II-BD-E; II-BD-G (формирование двух дополнительных сигналов тока); II-AD-BC-E; II-AD-BC-G (формирование двух дополнительных сигналов напряжения и одного дополнительного сигнала тока); II-AC-BD-E; II-AC-BD-G (формирование одного дополнительного напряжения и двух дополнительных сигналов тока); II-AD-BD-E; II-AD-BD-G (формирование по два дополнительных напряжения и тока).

Пятую группу составляют методы, основанные на формировании двух дополнительных сигналов напряжения, либо тока, либо как напряжения, так и тока, связанные с характерными точками одного из сигналов.

Поскольку здесь также не могут быть использованы ортогональные части сигналов, то возможно синтезировать следующие методы: II-AD-EH; II-AD-GH (формирование двух дополнительных сигналов напряжения); II-BD-EH; II-BD-GH (формирование двух дополнительных сигналов тока); II-AD-BC-EH; II-AD-BC-GH (формирование двух дополнительных сигналов напряжения и одного дополнительного сигнала тока); II-AC-BD-EH; II-AC-BD-GH (формирование одного дополнительного напряжения и двух дополнительных сигналов тока); II-AD-BD-EH; II-AD-BD-GH (формирование по два дополнительных напряжения и тока).

К шестой группе относится метод, основанный на формировании еще двух дополнительных сигналов напряжения, либо тока, либо как напряжения, так и тока, связанное с характерными точками двух или более сигналов.

Если не будут использованы ортогональные части сигналов, то для этой группы могут быть синтезированы другие методы: II-AD-EJ; II-AD-GJ (формирование двух дополнительных сигналов напряжения); II-BD-EJ; II-BD-GJ (формирование двух дополнительных сигналов тока); II-AD-BC-EJ; II-AD-BC-GJ (формирование двух дополнительных сигналов напряжения и одного дополнительного сигнала тока); II-AC-BD-EJ; II-AC-BD-GJ (формирование одного дополнительного напряжения и двух дополнительных сигналов тока); II-AD-BD-EJ; II-AD-BD-GJ (формирование по два дополнительных напряжения и тока).

Таким образом, если не использовать структурную избыточность, то предоставленная классификация позволяет в частых случаях синтезировать 66 методов.

Огромное количество различных вариантов методов требует использования их дополнительной классификации.

Заметное упрощение реализации обеспечивают методы измеряемые ИПГРС, в которых в качестве вспомогательных используются ортогональные части входных сигналов.

Имеется возможность классифицировать методы измерения интегральных характеристик с использованием ортогональных составляющих сигналов по следующим некоторым признакам: сравнение главного и дополнительного сигналов; связь с основными точками сигналов; сохранение мгновенных значений сигналов для последующего сравнения; раздел мгновенных значений сигналов во времени.

На рисунке 2.2 представлена классификация методов измерения ИПГРС, основанных на формировании ортогональных составляющих сигналов.

Рис. 2.2

Исключая противоположные друг к другу связи (связь или отсутствие связи с характерными точками сигналов; использование или отсутствие разделения во времени), а также, принимая во внимание тот факт, что запоминание мгновенных значений сигналов производится только с их последующим сравнением, можно условно разделить три группы, характерные для синтеза методов.

Первая группа состоит из методов, не использующие сравнение основного и дополнительного сигналов. Для этой группы возможно синтезировать такие методы: CH; CJ; DH; DJ; EH; EJ.

Во вторую группу входят такие методы, которые основанны на сравнении основного и дополнительного сигналов напряжения или тока. Для этой группы можно синтезировать такие методы как: ACH; ACJ; ACFH; ADGJ; AEFH; AEFJ; AEGH; AEGJ; АCFJ; ADH; ADJ; AEH; AEJ; ADFH; ADFJ; ADGH;.

Наконец, третья группа состоит из методов, основанных на сравнении основного и дополнительного сигналов и напряжения и тока. Для этой группы можно синтезировать такие методы как: ВCH; ВCJ; ВCFH; ВCFJ; ВDH; ВDJ; ВEH; ВEJ; ВDFH; ВDFJ; ВDGH; ВDGJ; ВEFH; ВEFJ; ВEGH; ВEGJ.

Так, представленная классификация позволяет в общем случае синтезировать 38 методов.

2.2 Метод измерения интегральных параметров на основе сравнения ортогональных составляющих напряжения

Первый метод основанный на том, что формируют ОС напряжения и тока; в момент когда равенство основного и дополнительного сигналов напряжения одновременно измеряет мгновенные значения главного сигнала напряжения, главного и дополнительного сигналов тока и определяют ИПГРС по измеренным значениям.

Временные диаграммы, поясняющие метод, представлены на рисунке 2.3.

Рис. 2.3

Для входного напряжения  и тока  и дополнительных сигналов напряжения  и тока  в момент времени t1, когда главный и дополнительный сигналы напряжения будут равны, выражения для мгновенных значений сигналов примут вид: ; ; ; , где α1,  - фазы сигналов напряжения и тока в момент времени t1;  - угол сдвига фаз между сигналами напряжения и тока; ω - угловая частота входного сигнала.

Мгновенные значения  и  будут равны при угле , где .

В таком случае выражения для определения основных ИПГРС примут вид:

СКЗ напряжения и тока:

; (2.11)

; (2.12)

АКТМ и РКМ

; (2.13)

. (2.14)

Информационно-измерительная система, показывающая метод, предоставлена на рисунке 2.4.