Материал: Аппроксимационные методы измерений периодических сигналов

; (4.13)

, (4.14)

т.е. (4.13) соответствует среднеквадратическому значению высших гармоник сигнала напряжения UГ, а (4.14) - СКЗ высших гармоник тока IГ.

Предельные значения абсолютной погрешности определения интегральных характеристик сигнала будут равны:

 (4.15)

 (4.16)

 (4.17)

 (4.18)

Используя (4.15) - (4.18), в соответствии с (3.1) - (3.4) получим выражения для относительной погрешности определения СКЗ напряжения и тока и выражения для приведенной погрешности измерения активной и реактивной мощности:

 (4.19)

 (4.20)

 (4.21)

 (4.22)

Анализ показывает, что погрешности, определенные в соответствии (4.19) - (4.22), в  раз меньше аналогичных погрешностей, вычисленных в соответствии выражениями (4.7) - (4.10).

Если использовать второй метод определения интегральных характеристик сигналов абсолютные погрешности аргументов соответствуют наибольшему отклонению моделей от реальных сигналов, то предельные значения абсолютных погрешностей определения параметров сигналов будут равны:

 ; (4.23)

; (4.24)

; (4.25)

. (4.26)

Используя предельные значения абсолютных погрешностей (4.23) - (4.26), можно определить относительные погрешности определения СКЗ напряжения и тока и приведенные погрешности определения АКМ и РЕМ:

; (4.27)

; (4.28)

; (4.29)

. (4.30)

Из выражений (4.27) - (4.30) следует, что погрешность определения параметров периодических сигналов зависит не только от гармонического состава сигнала, но и от угла сдвига фаз между напряжением и током φ и угла сдвига фазы ФСБ Δα.

Анализ указывает, что, выбирая соответствующие значения угла Δα, можно значительно снизить погрешность, обусловленная отклонением реальных сигнала от гармонической модели.

4.2 Анализ погрешностей реализации методов определения интегральных параметров гармонических сигналов

Использование аналого-цифрового преобразования мгновенных значений неизбежно приводет к погрешности квантования. Для анализа влияния погрешности квантования аналого-цифровых преобразователей на точность измерения ИПГРС может быть использована, рассмотренная в первой главе, методика характеристики погрешности результата измерения интегральной характеристики как функции, аргументы которой заданы приближенно с погрешностью, соответствующей погрешности квантования.

Если принимать, что при реализации первого метода определения ИПГРС при амплитудном значении напряжения Um мгновенное значение напряжения, пропорционально U21, измеряет с погрешност преобразования первого АЦП и наибольшая абсолютная погрешность измерений соответствует ΔU21=ΔU=Um/2n (где n - разрядность АЦП), то наибольшая абсолютная погрешность вычисления СКЗ напряжения в соответствует (3.1) с учетом погрешности квантования изменяеться к виду:

 (4.31)

Относительная погрешность вычисления UСКЗ равна:

 (4.32)

Если считать, что при амплитудном значении тока Im мгновенные значения тока, пропорциональные I21 и I22 измеряются с погрешностью преобразования второго АЦП и предельные абсолютной погрешности измерений соответствуют ΔI21=ΔI22=ΔI=Im/2n, то в соответствии с (3.2) предельная абсолютная погрешность вычисления СКЗ тока с учетом погрешности квантования АЦП:

 (4.33)

Относительная погрешность вычисления IСКЗ равна

 (4.34)

Например, для 12-разрядного АЦП погрешность вычисления среднеквадратических значений напряжения и тока составит 0,024 %.

Так же, абсолютные погрешности определения АКМ и РЕМ с учетом выражения (3.3) и (3.4) соответствуют виду:

 (4.35)

 (4.36)

Используя такие же допущения о погрешности преобразования мгновенных значений напряжения и тока, получим выражения для приведенных погрешностей вычисления АКТМ и РКМ

 (4.37)

 (4.38)

Анализ выражений (4.32) и (4.34) показывает, что погрешность, обусловленная влиянием квантования на результаты определения СКЗ напряжения и тока, не зависит от угла сдвига дополнительных сигналов относительно входного напряжения и тока, а зависит только от разрядности АЦП. Выражения (4.37) и (4.38) показывают, что влияние погрешностей квантования при определении активной и реактивной мощности также не зависит от угла сдвига дополнительных сигналов относительно входного напряжения и тока, однако зависит от угла сдвига фаз между напряжением и током φ.

На рис. 4.4 и 4.5 приведены соответственно графики зависимости приведенной погрешности АКМ и РЕМ от угла сдвига фаз между напряжением и током φ для 12-разрядного АЦП.

Рис. 4.4. Зависимость  от φ для 12-разрядного АЦП

Рис. 4.5. Зависимость  от φ для 12-разрядного АЦП

Анализируя выражения (4.32), (4.34), (4.37) и (4.38), можно увидеть, что наиболее эффективным методом сокращения данного вида погрешности является определение разрядности АЦП, однако это не всегда можно и имеет предел.

Так же, если считать, что при реализации второго метода определения ИПГРС при амплитудном значении напряжения Um мгновенное значение напряжения измеряется с погрешностью преобразования АЦП1, а при амплитудном значении тока Im мгновенные значения тока измеряются с погрешностью преобразования АЦП2, то абсолютные погрешности вычисления ИПГРС примут вид:

; (4.39)

; (4.40)

; (4.41)

. (4.42)

Используя выражения для абсолютных погрешностей (4.39) - (4.42), можно сделать вывод что относительные погрешности измерения СКЗ напряжения и тока и приведенны погрешность измерений АКМ и РЕМ:

; (4.43)

; (4.44)

; (4.45)

. (4.46)

На рис. 4.6 и 4.7 представлен график зависимостеи относительной погрешности определения СКЗ напряжения и приведенной погрешности измерения АКМ в соответствии с выражениями (4.43) и (4.46).

Рис. 4.6. Графики зависимости δUСКЗ от Δα и φ

Рис. 4.7. Графики зависимости γP от Δα и φ

Анализ рис. 4.6 и 4.7 дает нам представление о зависимости погрешностей как от угла сдвига фаз между напряжением и током φ, так и от угла сдвига фазы ФСБ.

При этом меньшее значение погрешности имеет место быть для Δα, соответствующих 70 - 90º (при ). В случае, если , знаменатели выражений (4.43) - (4.46) преврящаются в ноль, что соответствует взрывам графиков на рис. 4.6 и 4.7.

Если считать, что при реализации первого метода ФСБ1 (канал напряжения) и ФСБ3 (канал тока) имеют одинаковые углы сдвига фаз равные Δα, а ФСБ2 (канал напряжения) и ФСБ4 (канал тока) имеют углы сдвига фаз равные (Δα+Δβ) и (Δα+Δξ), где Δβ и Δξ - разность между углами сдвига фаз ФСБ1 и ФСБ2, ФСБ3 и ФСБ4 соответственно, то выражения для мгновенных значений сигналов будут равны:

 (4.47)

Рассмотрим частный случай анализа погрешности ФСБ, приняв Δβ=Δξ.

Равенство мгновенных значений сигналов  выполняется в том случае, если  , то есть когда  или .

Отсюда:

; (4.48)

 (4.49)

Согласно с (3.1) и (4.48) относительная погрешность определения СКЗ напряжения определяет выражение:

. (4.50)

Соотношение мгновенных значений сигналов  выполняется в том случае, если , то есть когда  или . Отсюда:

. (4.51)

Согласно (3.2) и (4.49) относительная погрешность определения СКЗ тока определяется выражением:

. (4.52)

В соответствии с (3.3), (3.4), (3.48), (3.49) и (4.51) приведенные погрешности определения АКМ и РЕМ будет равна:

; (4.53)

. (4.54)

На рис. 4.8 виден график зависимости погрешности определения СКЗ напряжения и тока от отклонения угла сдвига номинальной фазы ФСБ на величину Δβ в соответствии с выражениями (4.50) и (4.52).

Анализ рис. 4.8 показывает, что погрешность измерения СКЗ напряжения и тока, обусловленна отклонением угла сдвига фазы ФСБ от Δα, мала и в некоторых случаях ею можно пренебречь.

На рис. 4.9 и 4.10 видны графики зависимостей приведенные погрешности определения АКТМ и РКМ, обусловленные отклонения угла сдвига номинальной фазы ФСБ от Δβ и угла сдвига фаз между сигналам напряжения и тока в соответственно с выражениями (4.53) и (4.54).

Рис. 4.8. Зависимость погрешности  от Δβ

Рис. 4.9. Зависимость погрешности  от Δβ и φ

Анализируя рис. 4.9 и 4.10, увидим прогрессирующий рост погрешности с увеличением Δβ.

Из недостатков информационно-измерительной системы, реализующей этот метод, являеться погрешности по модулю фазосдвигающихся блоков, которая может привести к значительному потери точности измерения ИПГРС.

Рис. 4.10. Зависимость погрешности  от Δβ и φ

Если думать, что амплитудные значения напряжений на выходах первого и второго фазосдвигающихся блоков, используемого для формирования дополнительных сигналов, отличаются от амплитуды входного сигнала на величину  и , то мгновенные значения дополнительных сигналов напряжения будут иметь вид:  и . Так же, при отличии амплитудных значений дополнительных сигналов на выходах ФСБ в канале тока от амплитуды входного сигнала на величину  и , мгновенные значения дополнительных сигналов будут равны:

, , .

Оценивая влияние этого вида погрешностей на погрешности измерений ИПГРС.

Поэтому воспользуемся рассмотренной ранее методикой.

Если абсолютная погрешность аргументов соответствует отклонений мгновенных значений дополнительной напряжения и тока на величины  и , то, считая, что мгновенные значения входных сигналов напряжения и тока измерены без погрешности, возможно определить наибольшие значения абсолютных погрешности измерения СКЗ напряжений и тока, АКМ и РЕМ:

; (4.55)

; (4.56)

; (4.57)

. (4.58)

Используя (3.1) - (3.4), с учетом абсолютных погрешности (4.55) - (4.58) возможно определить относительные погрешности измерений СКЗ напряжения и тока и приведенные погрешностей измерений АКМ и РЕМ:

; (4.59)

; (4.60)