Материал: А27516 Сабуров АГ Гуляева ЮН Основы гидравлики гидравлич-х машин и гидропривода Конспект лекций

,

или

. (2.8)

При этом сила гидростатического давления составляет

. (2.9)

Итак, сила абсолютного давления на плоскую фигуру выражается произведением площади фигуры на величину абсолютного давления в ее центре тяжести, а сила гидростатического давления равна произведению площади фигуры на величину гидростатического давления в ее центре тяжести.

Теперь определим положение центра давления. Из механики твердого тела известно, что момент равнодействующей силы относительно выбранной оси равен сумме моментов сил, составляющих равнодействующую относительно той же оси. В нашем случае равнодействующей силой является сила гидростатического давления , а составляющими являются силы элементарного гидростатического давления на площадки величиной dS. Составим выражение элементарного момента силы dP относительно оси 0х:

.

После интегрирования получим

, (2.10)

где – момент инерции фигуры относительно оси 0х. Находим момент равнодействующей силы Р относительно оси 0х:

, (2.11)

где – координата искомого центра давления (плечо равнодействующей силы гидростатического давления Р). Так как , тo с учетом (2.10) и (2.11) получаем

или

. (2.12)

Введем в (2.12) вместо момента инерции центральный момент инерции , т. е. момент инерции фигуры относительно оси, проходящей через центр ее тяжести. Величины и взаимосвязаны , поэтому окончательно имеем

. (2.13)

Из (2.13) видно, что сила гидростатического давления приложена ниже центра тяжести фигуры на величину , называемую эксцентриситетом (ср. положение точек c и d на рис. 2.12).

Пример 1. Плоский затвор высотой h и шириной В поддерживает жидкость в открытом водоеме, глубина которого перед затвором также paвна h (рис. 2.13). Определить силу гидростатического давления и точку ее приложения.

Рис. 2.13

Решение. По формуле (2.9) находим . Глубина погружения центра давления, по (2.13), равна

,

так как для прямоугольника . Получили, что для прямоугольной вертикальной стенки эксцентриситет составляет и центр давления находится на глубине от свободной поверхности жидкости.

2.7. Эпюры гидростатического давления

Графическое изображение изменения давления называется эпюрой давления. Построение эпюры необходимо выполнять с учетом свойств давления и закона его изменения. Так как основное уравнение гидростатики (2.6) является уравнением прямой линии, то для построения эпюры давления на плоскую поверхность необходимо определить величину давления в двух точках по ее высоте (например, вверху и внизу стенки), а затем отложить величину в виде отрезков определенного масштаба в тех местах, где оно найдено, расположив по внутренней нормали к поверхности, и соединить концы отрезков прямой линией. Изобразим на рис. 2.14 эпюру давления на вертикальную стенку. Эпюра гидростатического давления изобразится в виде треугольника, а эпюра абсолютного давления – в виде трапеции. Эпюры давлений на плоские наклонные стенки строятся аналогичным путем и имеют тот же принципиальный вид, что и на рис. 2.14.

2.8. Гидростатический парадокс

Предположим, что имеются три сосуда А, В и С с плоскими днищами (рис. 2.15). Пусть площади днищ одинаковы, уровни жидкости в сосудах также одинаковы. Найдем, согласно (2.9), силу давления на дно сосудов: ; ; . Получили, что сила давления на днище сосуда не зависит от его формы, а зависит только от площади днища и высота жидкости в сосуде. Это положение называется гидростатическим парадоксом. Считалось в определенной мере парадоксальным равенство сил давлений на дно, например, в сосудах В и С, в которых помещается неодинаковое количество жидкости.

2.9. Поверхность уровня и ее свойства

Дифференциальные уравнения равновесия Эйлера (2.3) можно записать так

; ; ,

где Х, Y, Z – проекции ускорения на соответствующие координатные оси, причем если действует одна сила тяжести, то (рис. 2.4) Умножим каждое из этих уравнений соответственно на и сложим

.

В левой части получили полный дифференциал давления, равный

,

поэтому можно записать

). (2.14)

Формула (2.14) называется основным дифференциальным уравнением гидростатики.

Поверхностью уровня называется поверхность, все точки которой имеют одно и то же значение рассматриваемой функции. В гидравлике важное значение имеет поверхность равного давления. Во всех точках такой поверхности уровня гидростатическое давление одинаково, т е. и , поэтому из (2.14) следует

.

Так как плотность жидкости , то

. (2.15)

Формула (2.15) называется уравнением поверхности равного давления. Поверхность равного давления обладает двумя свойствами.

1. Две поверхности равного давления не пересекаются между собой. Допустим, что поверхность пересекается с поверхностью давления . Тогда в точках линии пересечения этих поверхностей давление было бы одновременно равным и , что невозможно, т. к. . Следовательно, поверхности равного давления не пересекаются.

2. Внешние объемные силы направлены нормально к поверхности уровня. Докажем это свойство. По второму закону Ньютона элементарная работа сил, действующих в жидкости, равна . Согласно (2.15), имеем . С другой стороны, из механики твердого тела известно, что , где – сила, действующая на единицу объема жидкости; dl – элементарный путь; α – угол между вектором силы и направлением движения. Так как , , , то получаем или .

Если жидкость находится только в поле силы земного тяготения, то ускорения X, Y, Z вдоль координатных осей равны: . После подстановки этих значений в (2.15) имеем: или . Интегрируя, находим

или . (2.16)

Уравнение (2.16) представляет собой семейство горизонтальных плоскостей. Значит, поверхностью равного давления в поле сил тяжести является горизонтальная плоскость.