Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

36 ОТНОШЕНИЕ ПЛАТОНА К МАТЕМАТИКЕ

Платон сознает, что он не может принять решение в этой ситуации, поскольку не является астрономом. Он мог бы подробно описать астрономическую теорию,

но доказать, что так именно оно и есть, никакому Главку, пожалуй, не под силу. Мне-то, во всяком случае, не спра­ виться, а самое главное, Симмий, будь я даже на это способен, мне теперь, верно, не хватило бы и жизни на такой длинный разговор28.

Но что касается Земли, здесь Платон с уверенностью может сказать следующее:

Вот в чем я убедился. Во-первых, если Земля кругла и находится посреди неба, она не нуждается ни в воздухе, ни в иной какой-либо подобной силе, которая удерживала бы ее от падения, — для этого достаточно однородности неба повсюду и собственного равновесия Земли, ибо однородное, находящееся в равновесии тело, помещенное посреди одно­ родного вместилища, не может склониться ни в ту, ни в иную сторону, но останется однородным и неподвижным29.

По-видимому, математико-астрономические исследования нелегко давались Платону, и это, кстати, неудивительно, в свете того, что мы знаем о Гауссе, «короле математиков» — иногда ему приходилось трудиться много лет, чтобы найти верное решение30. Тем более замечательно, что Платон приступил к этим исследованиям уже на старости лет и, как мы уже говорили, не боялся отвергать свои прежние представления, если новая теория казалась ему более ясной и убедительной.

28Федон. 108d.

29Там же. 108е-109а.

30В своем письме к Бесселу от 23 декабря 1816 г. Гаусс писал об исследо­ ваниях в сфере высшей арифметики, что они «мучают меня уже почти двенадцать лет. Они принадлежат к таким проблемам, где невозможно заранее предсказать, что будешь делать завтра, где к цели, возможно, приведет, после 999 неудачных попыток, удачная тысячная» (Gauss. Werke Х/1. S. 76).

Платон как наставник и вдохновитель 37

В связи с этим можно отметить, что Платон сравнительно поздно вступил в тесный контакт с математикой, почти не обра­ щаясь к ней в своих ранних диалогах. Первым, кто посвятил Платона в точные науки, был знаменитый пифагорейский мате­ матик Архит из Тарента31.

1.5. Платон как наставник и вдохновитель

Мы говорили, что Платон обладал довольно глубокими математи­ ческими познаниями и, согласно Целлеру, «наряду с философией он преподавал также и математику и принадлежал к первым ее знато­ кам своего времени»32. Фаулер выражается несколько сдержаннее, но и он считает Платона знатоком в этой области: «Хотя основные интересы Платона были сосредоточены на диалектике, по отно­ шению к которой математика рассматривалась лишь как подгото­ вительная ступень, он демонстрирует не менее глубокое знание важнейших особенностей и проблем технической математики, и у нас нет никаких свидетельств того, что он не мог общаться на равных с математиками, которые, видимо, преобладали в кругу друзей и единомышленников, сложившемся вокруг него, если не составляли этот круг полностью» .

Другой вопрос, являлся ли сам Платон творческим математи­ ком? На это непросто ответить, так как в диалогах мы не находим настоящих математических исследований в узком смысле этого слова. По мнению Бурбаки, Платон был просто «одержим матема­ тикой», но не привнес «ничего нового в эту область» . Нейгебауэр также оспаривал значение роли Платона в сфере математики .

См.: Ван дер Варден. Пробуждающаяся Наука. С. 209-210. Целлеръ. Очеркъ истории греческой философии. § 39. Fowler. The Mathematics of Plato's Academy. P. 104. Бурбаки. Очерки по истории математики. С П .

«Мне кажется очевидным, что роль Платона была сильно преувеличена. Его собственный непосредственный вклад в математику, очевидно, равен

3 8 ОТНОШЕНИЕ ПЛАТОНА К МАТЕМАТИКЕ

Ознакомимся, однако, со следующими преданиями, которые со­ общают о самостоятельной математической работе Платона. В «Послезаконии» (Epinomis) Филиппа Опунтского есть сведения, что Платон занимался проблемой увеличения куба в определенной пропорции (обобщение Делийской проблемы) и, вероятно, использовал собственную стереометрическую конструкцию . Во введении к своему комментарию к первой книге «Начал» Евклида Прокл говорит, что Платон заложил основу теоремы о делении прямых линий, которая в дальнейшем была подробно разработана другими . В том же самом труде Прокл пишет и о задаче нахож­ дения трех натуральных чисел, которые определяют прямоугольный треугольник: «Специальные методы были выведены для поиска таких треугольников, один из них приписывают Платону, другой Пифагору... Метод Платона выводится из четных чисел. Он принимает данное четное число за одну из сторон, прилегающих к прямому углу, делит его на две части и половину возводит в квадрат, и теперь, добавив к получившемуся квадрату 1, получает гипотенузу, а вычитая из квадрата 1, получаем вторую из сторон,

нулю. То, что в течение некоторого времени математики ранга Евдокса принадлежали к его кругу, не является доказательством влияния Платона на математические исследования. Весьма примитивный характер тех математических процедур, которые используют в своих примерах Платон и Аристотель, не позволяют предположить, что Теэтет или Евдокс могли чему-то научиться у Платона. Часто встречающееся представление, что Платон "режиссировал" исследования, к счастью, не подтверждается фактами» (Neugebauer. The exact sciences in antiquity, 1951. P. 146).

Подробные рассуждения об этом см. у Ван дер Вардена. Пробуждающаяся наука. С. 194-197.

Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начала» Евклида. Введение, часть II, глава 4 (согласно изданию: Morrow. Proclus: A commentary on the first book of Euclids Elements. P. 55: «...and multiplied the number of propositions concerning the "section" which had their origin in Plato...»; в русском издании часть II, глава 8: «Евдокс Книдский был немного младше Леонта и был дружен с окружением Платона; он первый увеличил число так называемых общих теорем, прибавил к трем пропорциям еще три и — взяв у Платона основу — разработал множество видов сечения»).

Платон как наставник и вдохновитель 39

38

прилегающих к прямому углу» . В наших современных алгебраи­ ческих терминах инструкция Платона выглядит так: первый катет а (четное число), второй катет ft-l^j-1, гипотенуза с = (^)+1 .

Например, если а = 4; 6; 8; 10; 12, то мы получим прямоугольные треугольники со сторонами, соответственно (3, 4, 5); (6, 8, 10); (8, 15, 17); (10, 24, 26); (12, 35, 37). Факт, что по этому методу а+Ь2 всегда равно с , легко доказывается алгебраически:

Далее, существуют высказывания, подтверждающие стремление Платона найти пригодные для геометрии определения (defmitio). Определение 2 в «Началах» Евклида, например39, «легко могло бы быть приписано школе Платона, если не самому Платону»40. Определению 4 у Евклида ! предшествует высказывание Платона: «Прямое — то, центр чего не дает видеть оба края» . А определение 15 звучит у Платона так: «Круглое ведь есть то, края

Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начала» Евклида. Пропо­ зиции. Ч. II. С. 428^429. Томас Хит подробно излагает, каким образом Платон мог бы найти свою формулу; см.: Heath. The thirteen books of Euclid's elements. Vol. 1. P. 356-360, 384-385.

39«Линия же — длина без ширины».

40Heath. The thirteen books of Euclid's elements. Vol. 1. P. 158. Хит ссылается на критическое замечание Аристотеля: «Далее [допускают ошибку], если род делят через отрицание, как, например, те, кто определяет линию как длину без ширины... а это допускают те, кто признает идеи» (Аристотель. Топика. VI 6, 143Ь11, 143Ь29).

41«Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней».

42Парменид. 137е. Смысл таков: если мы посмотрим из одного края на другой, мы не увидим его, мы увидим только центральный пункт линии.

43Определение 15 у Евклида гласит: «Круг есть плоская фигура, содержа­ щаяся внутри одной линии, на которую все из одной точки внутри фигуры падающие прямые равны между собой».

40 ОТНОШЕНИЕ ПЛАТОНА К МАТЕМАТИКЕ

чего повсюду одинаково отстоят от центра» . Наконец, по Диогену Лаэртскому, Платон первым употребил такие понятия, как

противостояние, продолговатое число или открытая плоскость

-45

граней .

Существует также предание, что Платон «первый подсказал Леодаманту Фасосскому аналитический способ исследования» —

47

один из важнейших и значительных методов научного познания . Слово «подсказал» [εισηγήσατο] «обычно понимают так, что Платон

48 49

изобрел этот метод» , но, даже если это не так , высказывание

Парменид. 137е.

Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых филосо­ фов. III, 24.

Там же.

См., например, рассуждения Пойа о роли анализа и синтеза не только в математике, но и в повседневной жизни: Polya. Schule des Denkens. S. 163— 170. На с. 168 он кратко описывает эти методы таким образом: «Анализ — это выдумка, синтез — воплощение; анализ — это придумывание плана,

синтез — осуществление плана».

48Heath. The thirteen books of Euclid's elements. Vol. 1. P. 134. Примеч. 1.

49На этот счет существуют определенные сомнения. Хит пишет об этом так (Op. cit. С. 134. Примеч. 1): «Но Тэннери настойчиво подчеркивает, как трудно объяснить, в чем же могло состоять открытие Платона, если понимать анализ в том смысле, которое придает ему Папп, где мы видим не более чем ряд последовательных редукций проблемы, пока она, наконец, не сводится к известной проблеме. С другой стороны, слова Прокла о том, что обдумываемая проблема сводится к уже "определенному принципу", предполагают, что мы имеем в виду не что иное, как процесс, описанный в конце VI книги "Государства", в которой диалектик (в отличие от математика) использует гипотезы как ступени на пути к закону, ни в коей мере не являющемуся гипотетическим, а затем может начать обратный спуск, шаг за шагом проверяя каждую из гипотез, с помощью которых он совершал восхождение. Это описание, конечно, не относится к мате­ матическому анализу, но оно, возможно, зародило идею, что анализ был открыт Платоном, поскольку анализ и синтез, следующие друг за другом, связаны тем же образом, что и восходящее и нисходящее движение в интеллектуальном методе диалектика. И возможно, достижение Платона заключалось в том, что он с точки зрения логической строгости заметил