Цели и проблемы исследования 21
8.Способ математического мышления древних греков сильно
отличался от нашего. Они, например, не знали алгебры и тракто вали проблемы и задачи в геометрической форме49. Математик и историк математики Д. Мордухай-Болтовской констатирует, что «очень трудно проникнуть в ход мыслей античного человека. Историк в большей или меньшей мере проектирует в прошлое настоящее» и дает следующий математический пример: «Лежандр, упрощая Евклида, не сознает, что это упрощение достигается
только изменением самого понимания геометрического доказа тельства»5 .
9.Некоторые ключевые для нашей темы места в платоновских диалогах могут быть непонятны читателям, не владеющим доста точными математическими знаниями. Это проблема касается даже ученых, специально занимающихся Платоном: фон Фриц, напри мер, упрекает своего противника Солмсена в том, что тот имеет «совсем неверное представление о математическом производстве» и, следовательно, недостаточно владеет математикой, чтобы полу чить корректные результаты из сложной конструкции правильных тел, представленной в диалоге «Тимей» (53-55). Можно обратиться
кдиалогу «Теэтет» (147d—148а), где обсуждается вопрос: что такое познание? В ходе этого обсуждения Теэтет, один из участников беседы, вспоминает о математическом исследовании его учителя Теодора о соизмеримости, которое помогло Теэтету создать новую
теорему. Если мы хотим понять то, что Платон излагает в
целые числа, рациональные, действительные и комплексные числа в равной степени числами, но потому, что даже общее понятие натурального числа не следует отождествлять с понятием arithmos» (Р. 17-18).
В конце параграфа 2.8 мы приводим пример чисто геометрического решения квадратного уравнения. Читатель получит, таким образом, хотя бы какое-то впечатление о древнегреческих методах. См. также: Прило жение Г2 («Один кусочек из Евклида») — современный читатель, наверное, с трудом справится с этими геометрическими изложениями.
Мордухай-Болтовской. Философия — Психология — Математика. С. 388. Fritz. Platon, Theaetet und die antike Mathematik. S. 25.
22 ВВЕДЕНИЕ
указанном отрывке устами Теэтета, нам необходимо обладать основательными историко-математическими знаниями52. Только в этом случае можно увидеть, насколько достоверно описывает Платон теорию Теодора и открытия Теэтета, в какой степени эти новые теории были ему известны и как он использовал их в своей философии53.
Эта теорема Теэтета звучит так: «Отрезки прямой линии, производящие квадрат, площадь которого является целым, но не квадратным числом, не имеют общей меры с единицей длины». Подробные комментарии к дан ному отрывку см.: Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. На страницах 227-230 автор показывает, что математические объяснения и дефиниции Платона совершенно правильны.
По мнению Ван дер Вардена, упомянутый математический пример Теэтета не слишком подходит к обсуждаемому в диалоге вопросу. Он пишет: «Правда, этот пример несколько притянут за уши: он должен служить предисловием к философской дискуссии, но не очень подходит для этого. Для этого, на мой взгляд, имеется только одно объяснение: Платон хотел взять такой вопрос, которым математик Теэтет действительно занимался сам, а поэтому мы и можем пользоваться этим диалогом как историческим источником для реконструкции математических работ Теэтета» (Там же. С. 227-228). Все же в своем примечании к этому отрывку А. А. Тахо-Годи видит достаточно явную связь между математическим примером и фило софской темой. Она пишет: «Текст 147d-148b у многих комментаторов вызывал разного рода сомнения, которые можно преодолеть, только если принять во внимание следующее главное обстоятельство. Как бы ни понимать употребляемые здесь Платоном термины, во всяком случае ясно одно: если разных знаний много, то это значит, что есть некое знание вообще; если в геометрии имеются квадраты и прямоугольники, то это возможно только потому, что есть некая четырехугольная фигура вообще, и если существуют разные типы чисел, то это значит, что есть число вообще. Числа и фигуры привлечены здесь для иллюстрации этой мысли Платона относительно знания. Впрочем, здесь, возможно, содержится намек на некий способ доказательства несоизмеримости отрезка длиной V/i (где η — неквадратное число) с единичным отрезком. Термин δύναμις, который использует здесь Платон, имеет несколько математических значений: квадрата, квадратного корня, стороны квадрата, степени. Об употреблении этого термина Платоном см. книгу французского исследо вателя Ж. Суйе (Souilhé J. Étude sur le terme dynamis dans les dialogues de Platon. Paris, 1919)» (Платон. Диалоги. M.: Мысль, 1986. С. 478).
Цели и проблемы исследования 23
10. Необходимо помнить и еще об одной трудности: при интерпретации старинных текстов надо иметь в виду, что наши представления об эпохе, существенно влияющие на восприятие текста, могут быть односторонними, а то и вовсе ошибочными. Например, бытует распространенное представление, что греки достигли великолепных результатов в философии и теоретической геометрии, но не имели особых достижений в области эксперимен тирования и технических разработок по причине слабого к ним интереса. То, что это не совсем так, показал уже Ф. М. Фелдхауз, подробно описавший технические достижения греков, в том числе и живших задолго до Архимеда: сверло, рольганги, подъемные машины, часы, орудия и многое другое54. Что касается экспери ментов, то Ван дер Варден упоминает Птолемея, который занимался точными исследованиями «бинокулярности [видения двумя гла зами], а также преломления лучей света при переходе границы между воздухом и водой, между воздухом и стеклом, а также между водой и стеклом. На основании этих тщательно проведенных экспериментов он составил таблицы рефракции»55. Но прежде всего здесь необходимо упомянуть созданный в эпоху Архимеда Антикитерский механизм — он был первым в истории человечества аналоговым компьютером, способным выполнять различные функции, в том числе показывать расположение известных тогда пяти планет. В последние несколько лет этот механизм, обнару женный археологами в 1900 г. и хранящийся в Национальном музее Афин, был подробно исследован. Оказалось, что его изготовление требовало комбинации глубоких астрономических знаний и поразительной ремесленной техники. До этой находки ни один эксперт даже не предполагал, что греки были способны построить подобный механизм. Поэтому Ксенофон Мусас из университета города Салоники, опубликовавший в июне 2006 г. в Интернете56
Feldhaus. Die Maschine im Leben der Völker. S. 78-96.
Van der Waerden. Das Erbe der Antike: Naturwissenschaften. S. 207-208. URL: http://www.antikythera-mechanism.gr
24 ВВЕДЕНИЕ
сведения об Антикитерском механизме, считает, что в свете новых данных нам необходимо пересмотреть наши представления о не которых эпохах в истории математики и астрономии. Этот пример показывает, что добиться идеально корректных представлений о научных знаниях и технических достижениях античности практи чески невозможно — это касается и интерпретации текстов Платона в данной работе .
* **
Если мы задумаемся над такого рода трудностями, помня при этом о многочисленных спорах и противоречивых высказываниях самых именитых платоноведов, зачастую бескомпромиссно защищающих полностью противоположные точки зрения, может возникнуть
вопрос, не является ли и наше исследование платоновского учения
со
весьма спорным и уязвимым для критики? К счастью, даже самые
Фаулер принципиально констатировал, что наши источники очень часто можно подвергнуть сомнению. «Доказательства многих рассказов не прослеживаются ранее времени, отстоящего на пятьсот, шестьсот, семьсот или даже восемьсот лет от самого события, и зачастую у нас мало инфор мации о том, являются ли эти рассказы подлинными, правдоподобными или вводящими в заблуждение» (Fowler. The Mathematics of Plato's Acade my. P. 204). Что же касается его собственной интерпретации, то Фаулер считает ее хорошо обоснованной, но все же добавляет: «Я сознаю, что какими бы правдоподобными и привлекательными ни были мои пред положения, они могут быть столь же неуместными или неправильными, как и многие до них» (Ibid. Р. 401).
С другой стороны, у этой ситуации есть и некоторые плюсы: она дает мне определенную свободу и беспристрастность. Я, безусловно, ограничен в моих представлениях, знаниях и интеллектуальных возможностях, но, по крайней мере, не обязан защищать чью-то точку зрения на философию Платона. Я принимаю к сведению авторитетные мнения с большим инте ресом (см., например, многочисленные сноски), однако не чувствую себя обязанным полностью соглашаться с ними. В этом смысле, я также не хочу быть «платоником» того или иного рода, а просто нахожу в высшей степени интересным читать диалоги Платона, особенно имея в виду мате матический аспект.
Цели и проблемы исследования 25
знаменитые авторы заявляли об ограниченности своих трудов; так, Фаулер начал свою книгу «The Mathematics of Plato's Academy» цитатой из еще более знаменитого Нейгебауэра — цитатой, достой ной быть переведенной и напечатанной здесь:
«В "Клойстерс", филиале Метрополитен-музея в НьюЙорке, висит великолепный гобелен, рассказывающий нам сказку о Единороге. В конце концов мы видим, как чудесное животное, грациозно склонившееся перед своей судьбой, попадает в плен и покорно стоит за небольшим аккуратным забором. Эту картину можно сравнить с тем, что мы попытались осуществить здесь. Мы искусно возвели из немногих доступных нам свидетельств ограду, а внутри нее заключили то, что может нам показаться живым существом. Реальность, однако, может быть совершенно отличной от нашего воображения; возможно, пытаясь восстановить прошлое, мы напрасно надеемся на нечто большее, чем просто создание некой картины, приятной для творческого,
59
созидающего разума» .
Neugebauer. The exact sciences in Antiquity, Chapter 6. // Fowler. The Mathematics of Plato's Academy. P. vi.