226 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
89
самое происходит с вопросом об отношении целого к его частям . В знаменитой притче о линии Платон объясняет разницу мира умопостигаемого и мира видимого с помощью линии, разделенной на два неравных отрезка90, но, опять же, сама геометрия играет в ней незначительную роль. Можно, конечно, вывести из пропорции, которую приводит Платон, что средние части В и С равны:
А В . С . D ,
(А+В) : (C+D) = А : В = С : D
А А + В
ВC + D
А С |
ВС |
|
|
|
B * D |
- А = |
D |
|
|
г ВС |
D + В |
_ |
С B(C + D) |
B-C |
BD C + D |
|
D"D(C+D) |
||
|
|
|||
Но мы не знаем, имел ли этот факт какое-то значение для Платона. Можно только сказать, что Платон использовал математические примеры осознанно и довольно часто, и это показывает, что он — по крайней мере во второй половине жизни — непрерывно зани мался математикой и постоянно обнаруживал какие-то взаимо отношения между математикой и философией.
Об «идеальных числах» (ιδεών αριθμός или είδητικός αριθμός)
Платон высказался только в конце жизни в неких особенных лекциях, не дошедших до нас (по мнению Чернисса, они попросту были выдуманы!91) Поэтому мы знаем о них очень мало. Наши
92 |
93 |
источники: одно указание Аристотеля , намеки в «Филебе» , в
89Теэтет. 198а-с.
90Государство. 509d—51 le.
91Cherniss. The Riddle of the Early Academy.
92Аристотель. Метафизика. XIII. 4, 1078 b.
93Филеб. 15a-b; 16c-e; 56e.
Идеальные числа 227
«Государстве» и в «Законах» , и фрагменты из лекции Платона Περί Τάγαθοΰ, которые были открыты лишь в 1941 г.96 Об идеальных числах можно сказать приблизительно следующее:
Движения небесных тел, их положение по отношению друг к другу, последовательность дней и лет — все это не является неизменным, вечным и постоянным. Неизменны только идеи, лежащие в основе чудесного устройства неба. Они должны находиться в какой-то связи, для того чтобы способствовать единому целому.
Платон описывал эту связь идей между собой, понимая идеи как
97
числа , однако числа более высокого уровня, чем математические. «Идеальные числа, согласно Платону, нельзя сложить; в чем-то они подобны идеям отдельных чисел; например, идеальное число четыре — это идея для всех четверок, которые встречаются при вычислении и подсчете у людей. Но это описание тоже не совсем правильно. Эти идеальные числа являются смешением пифаго рейских и платоновских теорий, которые почти не присутствуют в известных нам диалогах Платона; скорее всего, Платон развивал эту теорию только в пожилом возрасте, и наших знаний о ней крайне недостаточно»99.
Государство. 529с-е. Законы. 967.
См.: Beth. The Foundations of Mathematics. P. 28. Примеч. 49.
«Теперь совокупность идей, довольно смело редуцированная, интерпре тируется как числовая определенность в пределах от Одного до Бесконеч ности» (Dönt. Piatons Spätphilosophie und die Akademie. S. 43).
Аристотель свидетельствует о том, что уже пифагорейцы соединяли числа
ивысшие идеи: они «усматривали... много сходного с тем, что существует
ивозникает, — больше, чем в огне, земле и воде (например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то — душа и ум, другое — удача...); так как, далее, они видели, что выразимы в числах; так как, следовательно, им казалось, что все остальное по своей природе явно уподобляемо числам и что числа — первое во всей природе, то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что все небо есть гармония и число» (Аристотель. Метафизика. I. 5. 985Ь).
Kirchmann. Die Metaphysik des Aristoteles. Примеч. 54 к книге I. 6.
228 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
Согласно П. Наторпу , Платон в последней фазе своего развития почувствовал необходимость как-то обосновать не только разнообразие явлений, но и разнообразие идей. Ясно при этом, «что под идеей как числом подразумевалась не конкретная субстанция, а формальный закон. Субстанцию сделал из нее только Аристотель, в русле его общего превратного толкования теории идей» . Идеаль ные числа можно понимать как обобщения чисел в качественно расширенном смысле
Natorp. Piatos Ideenlehre. S. 438^41. Ibid. S. 441.
«Расширение чисел» всегда вызывало определенные сомнения и непонимание. Например, Г. Кантору пришлось неутомимо оправдывать свои трансфинитные числа; при этом он подчеркивал, что свойства уже знакомых чисел, конечно же, не полностью переносятся на новые, иначе они не были бы новыми. Кантор пишет: «Если постижение бесконечно больших замкнутых целых чисел, сравнимых между собой и с конечными числами, связанных друг с другом и с конечными числами неизменными законами, доставляет трудности, то эти трудности обусловлены тем фактом, что хотя новые числа и обладают во многих отношениях свойствами прежних чисел, но в гораздо большем числе других отношений они имеют совершенно своеобразную природу, часто приводящую к тому, что у одного и того же числа оказываются соединенными различные признаки, которые никогда не встречаются у конечных чисел вместе, а всегда разделены. Ведь в одном из цитированных в предыдущем параграфе мест встречается то соображение, что если бы существовало какое-нибудь бесконечное целое число, то оно должно было бы быть одновременно четным и нечетным числом, а так как оба эти признака не могут существовать вместе, то, следовательно, не существует такого бес конечного целого числа. Здесь, очевидно, молчаливо предполагается, что признаки, раздельные в случае традиционных чисел, должны сохранять то же отношение и в случае новых чисел. Отсюда заключают о невоз можности бесконечных чисел. Кому не бросится в глаза паралогизм этого рассуждения? Разве всякое обобщение или расширение понятий не связано и даже не мыслимо без отказа от частных признаков? Разве в самое последнее время не пришли к столь важной, приведшей к величайшим успехам мысли ввести комплексные числа, не обращая внимания на то, что их нельзя назвать ни положительными, ни отрицательными? А ведь на такой только шаг решаюсь и я здесь...» (Кантор. Работы по теории множеств. С. 76).
Идеальные числа 229
Математик и логик Э. Бет подробно исследовал платоновские идеальные числа. Сначала он демонстрирует проблемы, выте кающие из «принципа абсолютного», и первые попытки решения их Платоном в «Пармениде». Так как результаты, очевидно, удовле творяли Платона, он применил их также к проблеме универсалий и дошел таким образом до идеальных чисел10 . Целью в конечном счете была «последовательная и полная картина реальности»104.
А. И. Щетников подробно излагает «алгоритм Никомаха», кото рый можно рассматривать как математическую основу «неписаного учения» Платона. Это учение основывается, согласно известному предположению Кремера и Гайзера, на пифагорейской системе двух бытийных начал — единицы как основы тождества и формы и неопределенной двоицы как принципа инаковости и материи. В алгоритме Никомаха мы можем увидеть «математическую иллю страцию к неписаному учению Платона... В самом деле, здесь весь "космос" рациональных отношений иерархически разворачивается из первоначального отношения равенства в рамках единообразной процедуры дихотомического ветвления. Этому ветвлению нигде не положен предел, поэтому раздвоение путей в каждом узле является в прямом смысле слова неопределенным. Далее, нисходящие пути, идущие в обе стороны от каждого узла, уходят один в сторону большего, а другой в сторону меньшего отношения, к "превосходя щему и недостающему". Опять же, сверхчастные и другие отно шения, получаемые на нисходящих путях, могут сколь угодно близко подойти к отношению равенства, никогда не сравниваясь с ним; неопределенность большего и меньшего проявляется также и в этом»105. К этой идее, как замечает Щетников, хорошо подходит предложенная Штенцелем модель идеальных чисел Платона для
«Сам Платон пытался решить затруднения, связанные с теориями отде ления и присущести [theories of separation and inherence], путем создания совершенно новой теории, известной как теория идеальных чисел» (Beth. The Foundations of Mathematics. P. 14).
Ibid. P. 17.
Щетников. Алгоритм разворачивания всех числовых отношений из отно шения равенства и идеальные числа Платона. С. 71.
230 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
«количества самого по себе», по которой каждое число η произ водит два новых числа: 2п и 2л + 1. Щетников оставляет этот материал для дальнейших исследований, но главная мысль оче видна: идеальные числа Платона, несмотря на то что они являются «расширенными формами» чисел, основываются на качествах и отношениях натуральных чисел, т. е. на математике.
Одну попытку объяснения смысла «идеальных чисел» у Платона я хочу представить здесь более подробно, поскольку она, на мой взгляд, довольно убедительна. Как заметил Оскар Беккер, Платон снова и снова старается выстроить классификацию, т. е. закрепить за каждым «объектом» свое, подходящее место в общей системе. Например, возьмем отдельные звуки в языке:
Первоначально некий бог или божественный человек обра тил внимание на беспредельность звука. В Египте, как гласит предание, некий Тевт первым подметил, что гласные буквы в беспредельности представляют собою не единство, но мно жество; что другие буквы — безгласные, но все же причастны некоему звуку и что их также определенное число; наконец, к третьему виду Тевт причислил те буквы, которые теперь, у нас, называются немыми. После этого он стал раз делять все до единой безгласные и немые и поступил таким же образом с гласными и полугласными, пока не установил их число и не дал каждой в отдельности и всем вместе названия «буква» (στοιχεΐον)106.
На первый взгляд множество звуков в языке, по всей видимости, представляется «бесконечным», т. е. неоформленной, необозримой массой. Но если мы посмотрим внимательнее, то увидим, что некоторые звуки имеют между собой нечто общее, и мы называем эту группу «гласные буквы». Потом мы обнаруживаем звуки «без гласные, но все же причастные некоему звуку» и называем их «полугласными». И наконец, мы обнаруживаем звуки, которые сов сем «не звучат», и называем их «немыми». На основании подобного опыта мы можем выделить эти три группы. Важно, что при таком
Филеб. 18Ь-с.