Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

Платоновы тела 221

Аристотель прав в том, что нелегко объяснить возникновение материальных тел из чисто математических форм, хотя в 5-й главе мы приведем мнение квантового физика Вернера Хайзенберга о том, что эта теория Платона оказалась особенно плодотворной в физике. Сам Платон, конечно, видел эту сложность, но нашел очень интересный выход. Как подробно обясняет Штенцель74, Платон хотел создать упорядоченную систему границ, определяющих, где и когда можно и должно переходить из одной сферы в другую, особенно из области чувственного в область бестелесного и на­ оборот. И математика, с ее положением между чувственным миром и миром идей, отлично подходит на роль подобной «границы». Говоря конкретно, Платон исходил из мысленного преодоления проблемы континуума: как можно представить себе, что точка продуцирует линию? Ведь из самих точек никогда не получится отрезок, и представление о движении точки не поможет, поскольку в непрерывности движения кроется та же самая поблема растяжения. Выход, который нашел Платон, таков: линия не является бесконечно делимой, существует минимальная — конечно, очень маленькая — линия, далее не делимая75. Эти «элементарные» линии представляют собой «границы», и в то же время «переходы», например, от покоя к движению и наоборот, или от маленького к большому и наоборот, при этом сами они не являются ни тем ни

только появилось, бытовало мнение, что они твердые. Действительно, на протяжении многих веков многогранники именовались "твердыми тела­ ми". Позже, когда теория многогранников перешла в топологию, появи­ лось предположение об их пустотности. Это предположение привело к тому, что теоремы о многогранниках были обобщены с теоремами о сферах и торусах, которые являются полыми по определению)') (Richeson. Euler's Gem. P. 30). Платон был бы согласен с первым определением — или, может быть, со вторым, если признать, что у этой «кожи)) есть хоть какая-то, пусть самая маленькая, толщина.

74Stenzel. Zahl und Gestalt bei Platon und Aristoteles. S. 77-83: «Piatons Lehre von den unteilbaren Linien als Versuch einer Theorie des Kontinuums)).

75Мы уже упоминали, что это представление обсуждается также совре­ менными физиками. См., напр.: Jonath. Quantik. Wiedererwägungen zu Zahl und Zeit.

222 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

другим, но чем-то посередине (см.: Парменид. 156). На этом основании можно рассматривать чисто математические треуголь­ ники — и чисто математические Платоновы тела, созданные из них

— как «границы» и «переходы» между чувственным и умопости­ гаемым мирами.

Остается один вопрос: Платон выбирает два треугольника в качестве основания своей конструкции, потому что они «прекрас­ нейшие». Что он имеет в виду? Сам он этого не объясняет, только замечает, что «обосновывать это было бы слишком долго», хотя это и важно, поэтому он «объявляет конкурс» на еще более подходящие формы: «Если кто-нибудь выберет и назовет нечто еще более прекрасное... мы подчинимся ему не как неприятелю, но как другу»76. Но, по мнению Артмана77, обосновать выбор Платона

совсем не сложно. Эти два треугольника являются самыми прекрас-

78

ными потому, что в них заложена простая пропорция , которая

79

соединяет первые четыре Платоновы тела . «Прекраснейшая связь», по мнению Платона, это пропорция а : Ъ = Ъ : с. И мы находим такую пропорцию в конструкциях с этими двумя видами треугольников:

Тимей. 53d.

Artmann, Schäfer. On Plato's «Fairest Triangles». P. 255-264.

Тимей. 53d: «...земли и огня, а равно и тех [стихий], что стоят между ними как средние члены пропорции...»

Тимей. 31Ь-32а: «Однако два члена сами по себе не могут быть хорошо со­ пряжены без третьего, ибо необходимо, чтобы между одним и другим ро­ дилась некая объединяющая их связь. Прекраснейшая же из связей такая, которая в наибольшей степени единит себя и связуемое, и задачу эту наи­ лучшим образом выполняет пропорция, ибо, когда из трех чисел — как ку­ бических, так и квадратных — при любом среднем числе первое так отно­ сится к среднему, как среднее к последнему, и соответственно последнее к среднему, как среднее к первому, тогда при перемещении средних чисел на первое и последнее место, а последнего и первого, напротив, на средние места выяснится, что отношение необходимо остается прежним, а коль скоро это так, значит, все эти числа образуют между собой единство».

224 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

вид [тела], покоящегося на квадратных основаниях и потому особо устойчивого, оказывается самым неподатливым, при­ чем его высокая способность к отпору объясняется и тем, что как раз он плотнее всех прочих81.

Теория треугольников объясняет также качества различных жидкостей, в том числе вина, масла и меда:

Но самые многочисленные виды вод, смешиваясь друг с другом, сочатся в произращенных землей растениях, и оттого их род получил имя соков. Поскольку же от смешений вышло большое многообразие, то большинство родов оста­ лось без особого названия; однако четыре вида, таящие в себе огонь, получили, как особенно примечательные, свои имена. Первый из них имеет свойство разогревать душу и вместе с ней тело: он наречен вином. Второй - гладкий и вызывает рассеивание зрительного огня, а потому явлен глазу про­ зрачным, блестящим и лоснящимся, это вид подобных елею масел; к нему относятся смола, касторовое масло, а также сам елей и то, что имеет его свойства. Третий обладает способ­ ностью расширять суженные поры рта до их естественного состояния, вызывая этим ощущение сладости: он получил родовое наименование меда82.

Однажды Сократ ради забавы доказывал известному мудрецу Гиппию заведомо ложное утверждение, обращаясь при этом за помощью к арифметике. Гиппий утверждал, что не может быть так, что «один и тот же человек был и правдив и лжив»83. Тогда Сократ аргументирует следующим образом: Гиппий очень умен, а также весьма опытен в искусстве счета. Он может мгновенно подсчитать, сколько будет трижды семьсот, и не ошибиться: трижды семьсот - это две тысячи сто. В этом Гиппий оказывается «правдивым». Но тот же Гиппий может, если захочет, дать и неправильный ответ: «трижды семьсот — это две тысячи двести». И так как он точно

81Тимей. 62Ь.

82Тимей. 59е-60Ь. Гиппий Меньший. 365с.

Вспомогательные примеры 225

знает, что его ответ неправилен, то его ложь — это самая настоящая стопроцентная ложь. Значит, Гиппий также очень умелый лжец (ведь не столь умелый человек, в отличие от Гиппия, желая солгать, мог бы случайно сказать правду!) Оказывается, что Гиппий и правдив, и лжив.

3.8. Вспомогательные примеры

Платон часто использовал примеры из различных областей жизни либо для иллюстрации своих философских соображений, либо как образец правильного мышления. Среди таких примеров — при­ менение сверла и челнока84, окрашивание предмета , отпечаток на воске , методы продаж бессовестных торговцев . Такие небольшие вспомогательные примеры Платон берет и из математики, разумеется, в ограниченном смысле; в «Теэтете», например, речь идет о восприятии и возможности ошибочных и правильных пред­ ставлений, а в качестве примера используются правильные и оши­ бочные расчеты , но апелляция к числам здесь не является строго необходимой, ход мысли мог бы выразиться и по-другому. То же

Кратил. 388а. Употребление: «Выходит, имя есть некое орудие обучения и распределения сущностей, как, скажем, челнок — орудие распределения нити» (388Ь).

Лисид. 217с. Употребление: «Значит, и то, что ни плохо ни хорошо, иногда от присоединения плохого не становится плохим до поры до времени, а бывает, что и становится» (217е).

Теэтет. 194с. Употребление: «Если в чьей-то душе воск глубок, обилен, гладок и достаточно размят, то проникающее сюда через ощущения отпечатывается в этом... сердце души... и возникающие у таких людей знаки бывают чистыми, довольно глубокими и тем самым долго­ вечными...» (194с).

Протагор. 313d. Употребление: «Так вот, если ты знаешь, что здесь полезно, а что — нет, тогда тебе не опасно приобретать знания и у Протагора, и у кого бы то ни было другого; если же нет, то смотри, друг мой, как бы не проиграть самого для тебя дорогого» (313е—314а).

Теэтет. 195е-196Ь; см. также: Гиппий Больший. 302а-303Ь.