Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

216 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

Такие явления были впоследствии подвергнуты Гауссом точному математическому описанию. Известная Гауссова кривая распределения точно выражает то, что уже Платон наблюдал и описал:

количество людей

3.6. Платоновы тела

В диалоге «Тимей» есть знаменитое место, в котором Платон описывает правильные многогранники64 и использует их затем для объяснения элементов6 . Платон исходит из констатации, что огонь, земля, вода и воздух — это тела, и, следовательно, ограничены некоторыми поверхностями. А всякая прямолинейная поверхность состоит из треугольников, и все треугольники можно привести к двум формам: равнобедренным прямоугольным треугольникам и неравнобедренным прямоугольным треугольникам. Все треугольники первого вида имеют одну форму, второго — бес­ конечное множество форм. Интересно при этом, что Платон

Правильные многогранники называются еще и «Платоновыми телами», так как Платон описывал и использовал их в «Тимее». Многогранник является правильным, если: 1) он выпуклый; 2) каждая его грань — правильный многоугольник; 3) все грани конгруэнтны; 4) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер. История и теория правильных много­ гранников, их употребления Платоном и их роли в современной топологии изложены в работе: Richeson. Euler's Gem — The Polyhedron Formula and the Birth of Topology.

Тимей. 53-55. Эта тема подробно обсуждается в книге: Sachs. Die fünf platonischen Körper.

Платоновы тела 217

выбирает из них подходящую для его целей форму по критерию «красоты» 66:

Нам же представляется, что между множеством треуголь­ ников есть один, прекраснейший, ради которого мы оставим все прочие, а именно тот, который в соединении с подобным ему образует третий треугольник — равносторонний67.

Таким образом, мы получаем два прямоугольных треугольника (которые будут лежать в основе следующей конструкции эле­ ментов), «один из них равнобедренный, а другой таков, что в нем квадрат большой стороны в три раза больше квадрата меньшей», т. е. равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами α и я,

и прямоугольный треугольник с катетами ^ и ^-л/3 :

Теперь следующая задача состоит в том, чтобы указать,

каковы же те четыре рожденных тела, прекраснейшие из всех, которые не подобны друг другу, однако способны, разрушаясь, друг в друга перерождаться. Если нам удастся попасть в точку, у нас в руках будет истина о рождении земли и огня, а равно и тех [стихий], что стоят между ними как средние члены пропорции. Тогда мы никому не уступили бы в том, что нет видимых тел более прекрасных, чем,эти, притом каждое из них прекрасно в своем роде. Поэтому надо

В современной математике этот критерий также играет немаловажную роль. Французский математик Жак Адамар, например, считал чувство красоты почти единственным инстинктом, пригодным для совершения открытий в математике, а для теоретика чисел Г. Ч. Харди красота явля­ лась критерием ее правильности.

Тимей. 54а.

218 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

приложить старания к тому, чтобы привести в соответствие

четыре отличающихся красотой рода тел и доказать, что мы

68

достаточно уразумели их природу .

Следующие Платоновы тела строятся путем неоднократного соединения этих двух видов треугольников:

Платон подробно описывает все эти конструкции; ограничимся здесь примером построения тетраэдра:

Его первоначало — треугольник, у которого гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета. Если такие треугольники сложить, совмещая их гипотенузы, и повторить такое действие трижды, притом так, чтобы меньшие катеты и гипотенузы сошлись в одной точке как в своем центре, то из шестикратного числа треугольников будет рожден один, и он будет равносторонним. Когда же четыре равносторонних треугольника окажутся соединенными в три двугранных угла, они образуют один объемный угол, а именно такой, который занимает место вслед за самым тупым из плоских углов. Завершив построение четырех таких углов, мы получаем первый объемный вид, имеющий свойство делить всю описанную около него сферу на равные и подобные

части69

< * < $

6 раз

68Тимей. 53d.

69Тимей. 54d-55a.

Платоновы тела 219

В дальнейшем Платон объясняет свойства элементов на основе этих конструкций. Возьмем снова для примера тетраэдр:

Посмотрим, почему это об огне говорят, что он горяч? На этот вопрос мы должны ответить, приняв во внимание режущее и разлагающее воздействие его на наши тела. Едва ли не все согласятся, что ощущение от огня — пронзитель­ ное; при этом нам следует вспомнить о тонкости его граней и остроте его углов, затем о малости его частиц и о быстроте их бега, ибо все эти свойства таковы, что сообщают огню напор и проворство, и потому ничто не может противостоять его режущей силе. Достаточно вспомнить и принять его в расчет его очертания и то, как они были рождены, чтобы уразуметь: эта природа, как никакая другая, способна проницать наши тела, тончайшим образом расщеплять их и доставлять тому, что мы соответственно зовем теплом, и его

70

свойства и его имя .

Применяя теорию первых четырех правильных многогранников, Платон преследовал важную для себя цель. Он опровергал теорию Демокрита по трем пунктам:

1.Элементы — это не комбинация различных атомов, а очень сложные связи.

2.Демокрит не разобрался в состояниях элементов, и его эле­ менты не могут превращаться друг в друга.

3.Согласно Демокриту, истинное познание невозможно, есть только относительная правда органов чувств \

Тимей. 61d-62a.

Нужно признать Платоновскую критику мировоззрения Демокрита «как объективно оправданную. В то же время из нее с ясностью выводится собственное положительное достижение Платона. Именно он дает завер­ шение теории элементов ионийской натурфилософии, отделяя материю от формы с большей понятийной ясностью. Этим разделением он приходит к тому, что уже лежало в основе первых материалистических теорий ионийцев как предчувствие: Платон понимает элементы как формы проявления, как агрегатные состояния единственного, неизменного и бескачественного

220ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

Вто же время Платон выстраивает свою собственную теорию рационалистического строения мира и духа. Он назвал те (прямо­ угольные) треугольники «принципами» (стойхея) огня и других элементов и объяснил, почему он берет правильные многогранники как формы элементов: они могут превращаться один в другой.

Теперь должно сказать, каковы же те четыре рожденных тела, прекраснейшие из всех, которые не подобны друг другу, однако способны, разрушаясь, друг в друга пере­ рождаться72.

Аристотель критиковал эту теорию. Ему казалось, что геометри­ ческие формы, используемые Платоном, так же как и числа, используемые пифагорейцами, не пригодны для построения космоса, так как «если каждая из двух частей не имеет никакой тяжести, то невозможно, чтобы обе вместе имели тяжесть... А что точка действительно не может иметь тяжести — очевидно... Кроме того, абсурдно, что плоскости могут слагаться только по линии...

но если может слагаться, по всей поверхности, то в результате такого сложения плоскостей получится тело, которое не будет ни элементом, ни состоящим из элементов. Кроме того, если различие в тяжести между телами зависит от числа плоскостей, как опре­ делено в "Тимее", то ясно, что и линия и точка будут иметь тяжесть»7 , что, по мнению Аристотеля, абсурдно.

основания — материи. Это большое достижение Платона, которое относится к истории физики. Он, пожалуй, осознавал важность этого шага и недвусмысленно приписывал себе приоритет этой идеи (Тимей. 48Ь). Тот, кто ставит этот приоритет под сомнение, должен знать, что он несправедлив по отношению к Платону» (Sachs. Die fünf platonischen Körper. S. 206).

72Тимей. 53d.

73Аристотель. О небе. III. 1. 299a25-300al. Д. Ричсон говорит об истори­ ческом расхождении во взглядах: «Представляет ли собой многогранник твердое тело или он полый? В некоторых определениях утверждается, что многогранники являются твердыми, трехмерными объектами, в то время как другие требуют, чтобы они были полыми и состоящими из двумерных плоскостей, составляющих их "кожу". Тот, кто принимает первое опре­ деление, построил бы многогранник из глины, в то время как согласный со вторым сделал бы его из бумаги. Когда представление о многогранниках