Материал: Sb98338

%постоянных значениях первой и третьей координат u2 = 1.2:-0.2:0.2; % набор значений u2 с шагом 0.2

%формирование значений вектора u

u = [ones(size(u2)); u2; ones(size(u2))];

% задание начальных значений вектора x x0 = [1; 1; 1];

% цикл расчета значений вектора x xx=[ ];

for i=1:length(u2),

x=newton(‘fun_F’, ‘fun_G’, x0, u(:,i), eps); xx=[xx x];

x0=x; end

%построение графиков x1(u2), x2(u2), x3(u2)

……………………………………………

%вычисление значения функции f(x, u) function z = fun_F(x, u)

z = [………….]; % формируется вектор-столбец из трех компонент

%вычисление значения функции G(x, u)

function z = fun_G(x, u)

z = [………….]; % формируется матрица строения 3 на 3

Содержание отчета

1.Исходные уравнения объекта (в форме СНДУ) и СНЛАУ относительно нормированных переменных в общем виде.

2.Выражение для матрицы G(x, и) для нормированных переменных.

3.Система алгебраических уравнений и матрица G(x, и) с численными значениями.

4.Перечень статических характеристик, подлежащих расчету. По каждой характеристике: состав и значения фиксированных входных переменных, набор значений варьируемых входных переменных, значение х0 на момент начала расчетов.

5.Программа на языке МATLAB.

6.Графики статических характеристик и таблицы результатов расчетов.

7.Сопоставление статических характеристик с результатами моделирования, полученными в лабораторной работе № 2.

8.Выводы.

16

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Цель работы: Провести линеаризацию СНДУ в окрестности статического режима, получить линеаризованную математическую модель, описывающей динамику системы при малых отклонениях входных переменных от рассматриваемого статического режима; исследовать линеаризованную модель на ее соответствие нелинейной модели; исследовать устойчивость системы и характер переходных процессов.

Постановка задачи

В этой работе исследуется новый тип математической модели – математическая модель, линеаризованная в окрестности статического режима.

Рассматривают СНДУ, записанную в форме Коши:

Выбирают статический режим x 0 ,u 0 , в окрестности которого производится линеаризация.

Далее определяют матрицы частных производных. Матрица состояния определяется следующим образом:

17

Матрицы А, В, C, D имеют постоянные коэффициенты, зависящие от статического режима, т. е. от u 0 и x 0 . Для СНДУ рассматриваемого типа коэффициенты матриц могут быть определены аналитически, так как для каждой частной производной аналитическое выражение записать достаточно просто. Если аналитическое выражение для какого-либо коэффициента записать невозможно или сложно, то этот коэффициент можно определить численно, например:

f2 x10 , , xn0 ,u10 , ,ul 0 ,

где значение должно быть малым. Система линейных уравнений вида:

записанная относительно векторов, обозначаемых через x x t x 0 ,u u t u 0 , y(t) y(t) y(0) называется системой, полученной из си-

стемы (4.1) путем линеаризации последней в окрестности статического режима (u 0 , x 0 ).

Эта система обладает следующим замечательным качеством. Если рас-

где х(t) – решение системы (4.2) при начальных условиях x t0 x* x(0) и

при входном векторе u t0 u(t) u(0) , t t0 , t1 . Другими словами, соответствие математических моделей (4.1) и (4.2) выражено соотношениями:

18

Переменные xi (t), ui (t) называются приращениями (или отклонениями) переменных xi , ui относительно значений xi(0) , ui(0) .

Таким образом, в окрестности статического режима динамику исходно го объекта (4.1) с большой точностью описывает динамика объекта (4.2). Знак приближенного равенства в (4.3) означает, что при значительном откло-

нении значений вектора u(t) от значения u 0 , т. е. при больших значениях компонент вектора ui t , схожесть будет меньше. В результате процесс ис-

следования динамики нелинейного объекта (4.1) в окрестности его статического режима может быть осуществлен по схеме, показанной на рис. 4.1.

x* x* x(0)

Рис. 4.1

Описание в виде (4.2) является общепринятым. Практически все стандартные методы и программные средства для работы с линейными системами используют такое представление. В частности, пакет MATLAB ориентирован именно на такое представление, когда объект исследования описан в пространстве состояний.

СЛДУ есть частный случай СНДУ, поэтому к объекту (4.2) применимо все, что изложено в лабораторных работах № 2 и 3 по отношению к нелинейным объектам, т. е. статические режимы и переходные процессы можно определить теми же методами. Однако для линейных объектов набор методов исследования значительно проще и разнообразнее.

В этой работе рассчитывают только переходные процессы в линейной системе (4.2) и исследуют их соответствие переходным процессам в нелинейной системе (4.1), согласно соотношениям (4.3). Если в лабораторной ра-

19

боте № 2 был рассчитан переходный процесс из статического режима (u 0 , x 0 ) в статический режим (u 1 , x 1 ), то для линеаризованной системы это

означает переход из статического режима ( u 0 , x 0 ) в статический режим

( u 1 , x 1 ). При этом u 0 0 Rl , x 0 0 Rn , u 1 u 1 u 0 ,

x 1 x 1 x 0 . Расчет переходного процесса для линейной системы означает расчет решения СЛДУ (4.2), т. е. вектор-функции х(t) на t t0, t1 при

мы (4.1). Решение х(t) может быть определено любым численным методом. Однако для линейных систем используют специальные методы, позволяющие осуществлять интегрирование с большим шагом.

Использование линеаризованной модели дает следующие преимущества при исследовании динамической системы.

1.Решение СЛДУ всегда проще найти, в ряде случаев оно может быть найдено аналитически.

2.Для линейных систем определены такие понятия, как передаточные функции и частотные характеристики. Для оценки устойчивости движения в окрестности положения равновесия достаточно рассчитать собственные числа матрицы А. Кроме того, для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, что позволяет, например, использовать методы частотного анализа.

3.Для линейных систем методы теории автоматического управления разработаны наиболее полно. Это позволяет строить законы управления для линеаризованных объектов и с учетом преобразования (8) переносить их на исходные нелинейные объекты.

Содержание работы

1.Найти аналитические выражения для коэффициентов матриц А, В, С, D.

2.Для статического режима (u 0 , x 0 ), из которого рассчитывали переходные процессы в лабораторной работе № 2, рассчитать значения коэффициентов матриц.

3.Написать и отладить программу на языке MATLAB для расчета переходных процессов в линейной системе.

4.Рассчитать переходные процессы из статического режима ( u 0 0,

x 0 0) в статические режимы ( u 1 , x 1 ) и т. д., соответствующие в ла-

20