Материал: Sb98337

Правая часть уравнения является решением однородного уравнения, и потому частное решение надо искать по формуле

y* x Acos 2x Bsin 2x .

Вычислим производные y* :

y* Acos 2x Bsin 2x x 2Asin 2x 2B cos 2x( A 2Bx)cos 2x (B 2Ax)sin 2x,

y* 2B cos 2x 2Asin 2x 2 A 2Bx sin 2x 2 B 2Ax cos 2x.

Подставим эти выражения в уравнение

2B cos 2x 2Asin 2x 2 A 2Bx sin 2x 2 B 2 Ax cos 2x4x Acos 2x B sin 2x sin 2x.

Проведем тождественные преобразования

4B cos 2x 4 Asin 2x sin 2x A 14 , B 0.

Общее решение неоднородного уравнения

yy0 y* C1 cos 2x C2 sin 2x 14 x cos 2x.

3.4.Системы однородных линейных дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами

Решение таких систем связано с несколькими темами, которые в реше-

нии одной задачи могут использоваться одновременно. В частности, здесь

мы снова сводим решения задачи о дифференциальных уравнениях к поиску

собственных чисел и собственных векторов матрицы:

–поиск собственных чисел и собственных векторов;

–решение систем линейных уравнений;

–решение дифференциальных уравнений;

–базис и линейные комбинации.

Рассмотрим систему X t AX t , где X t – набор

x1 t , x2 t , , xn t .

Тогда по аналогии с решением уравнений можем искать решение в виде

комбинации экспонент. Точнее говоря, находим собственные числа матрицы A. Сначала предположим, что они вещественные и различные – 1, 2, , n .

Для каждого из них найдем собственный вектор Yk. Тогда базис пространства

21

Пример. Найти частное решение однородной системы

x1 4x1 x2x2 3x1 2x2

x3 2x1 3x2 4x3,

которая удовлетворяет условию x1 0 6, x2 0 6, x3 0 24.

Найдем собственные числа матрицы: 1, 4, 5. Собственные векторы:

Можно проверить подстановкой, что эти векторы подходят.

Для нахождения частного решения находим константы из системы:

22

Рассмотрим теперь случай с кратным корнем для системы линейных дифференциальных уравнений. Если собственное число имеет кратность r ≥ 2, то решение системы ищут в виде вектора

координаты которого определяются методом неопределенных коэффициентов, т. е. из системы линейных уравнений, получающихся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях t в результате подстановки в исходную систему.

3.5. Метод изоклин

Приближенно изобразите график функции, являющейся решением дифференциального уравнения

y y2, y 1 2, y 1 1.

Метод состоит в том, что сначала отмечают точку с координатами (1, 2),

которая лежит на графике функции, затем продвигаются по касательной на

небольшое расстояние (например: 1/2), затем для этой точки находят значение производной, угловой коэффициент новой касательной, и несколько раз

повторяют процесс.

3.6. Изображение множества решений систем дифференциальных уравнений на плоскости. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений

Для исследования на устойчивость точки покоя системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

надо составить характеристическое уравнение. В зависимости от вида и зна-

ков корней, можно определить вид точки покоя.

Пусть система дифференциальных уравнений имеет вид

23

Если оно имеет два отрицательных вещественных корня – это устойчивый узел, если два положительных вещественных корня – неустойчивый узел, если два вещественных корня разных знаков – седло.

Для комплексных корней с отрицательной вещественной частью полу-

чим устойчивый полюс, с положительной вещественной частью – неустойчивый полюс, с нулевой вещественной частью – центр.

24

Список рекомендуемой литературы

Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике для ВТУЗов.

Ч. 2. М.: Наука, 1986.

Макаров Б. М., Подкорытов А. Н. Лекции по вещественному анализу. СПб.: БХВ-Петербург, 2011.

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. СПб.: Лань, 2005.

25