Материал: Sb98337

xn,eax , cos bx, sinbx и любые произведения этих четырех функций. Линей-

ность уравнения позволяет решать задачу нахождения общего решения «по отдельности» для каждого слагаемого, а затем сложить их. Следовательно, достаточно рассмотреть в качестве f x :

xn,eax,cosbx,sin bz, xneax, xn cosbx,eax cosbx, xneax cosbx.

Приведенный список позволяет лучше почувствовать, какие функции могут стоять в правой части уравнения.

Для решения неоднородных уравнений с правой частью указанного вы-

ше вида обычно применяют метод неопределенных коэффициентов. Заме-

тим, что все функции, допущенные в качестве правой части уравнения, мало меняются при дифференцировании. Это позволяет описать для фиксированной правой части базис функций, по которому можно разложить частное решение, пока что с неопределенными коэффициентами. Далее надо вычислить результат применения оператора L к составленному выражению. Приравнивая полученное выражения к функции f x , получим равенство двух линей-

ных комбинаций элементов базиса. Такое равенство возможно, только если равны все коэффициенты при элементах базиса. Таким образом, возникает система линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов, причем эта система всегда имеет единственное решение. При составлении выражения частного решения необходимо контролировать следующее обстоятельство – некоторые элементы базиса могу обращаться в ноль оператором, стоящим в правой части. Присутствие таких слагаемых в выражении с неопределенными коэффициентами бесполезно. Но если их удалить, то неопределенных коэффициентов станет меньше, чем уравнений и система не будет иметь решения. Имеется простой способ исправить эту «недостачу». Достаточно умножить соответствующие элементы базиса на x.

Далее перечислены все возможные варианты составления выражения для частного решения. При этом предполагается, что

шение надо искать в виде:

16

y* x eax P x cosbx Q x sin bx ,

где P x ,Q x – многочлены степени с неопределенными коэффициентами.

2. Случай «совпадения»: f x e 1x , т. е. Lf 0 . Тогда частное решение надо искать в виде:

y* x Ae 1x Bxe 2 x.

3. Характеристический многочлен имеет совпадающие вещественные корни 1 2 и f x xke 1x ,k 0,1. Тогда частное решение надо искать в том же виде, что и в первом случае:

y x eax P x cosbx Q x sin bx .

4. Случай «совпадения»: f x xke 1x , тогда частное решение надо искать в виде:

y* x xe x Acosbx Bsin bx .

Разберем описанное выше на примерах.

1. Решить задачу Коши: y 5y 6 y e x , y 0 1, y 0 2 . Соответствующее однородное уравнение было решено в цикле примеров

коднородным уравнениям. Корни характеристического уравнения 1 2 и

2 3 вещественны и различны, общее решение однородного уравнения:

y0 C1e2x C2e3x.

Функции e2x ,e3x не являются решениями однородного уравнения и, следовательно, частное решение надо искать по формуле пункта первого. За-

17

метим, что в рассматриваемом случае n 0, a 1, b 0 и запишем выражение для частного решения с неопределенными коэффициентами:

y* x Ae x.

Чтобы подставитьэту функциювуравнение, надовычислитьпроизводные:

Ae x 5Ae x 6Ae x e x 12Ae x e x A 1/ 12.

Теперь можно записать общий вид решения неоднородного уравнения:

y y0 y* C1e2x C2e3x e x . 12

Остается решить задачу Коши, т. е. подобрать постоянные так, чтобы выполнялись начальные условия. Для этого потребуется производная:

y 2C1e2x 3C2e3x e x . 12

Запишем значения функции производной в точке ноль:

2. Найти общее решение уравнения: y 5y 6y e2x . Решение однородного уравнения то же, что в примере 1 на с. 17.

y0 C1e2x C2e3x.

Но на этот раз, правая часть оказывается решением однородного уравнения, поэтому частное решение надо искать по формуле п. 2 (с. 17).

y* Axe2x.

Вычисляем производные:

y Ae2x 1 2x , y 2Ae2x 1 2x 2Ae2x

и получаем уравнение для определения коэффициента:

2Ae2x 1 2x 2Ae2x 5Ae2x 1 2x 6Axe2x e2x A 1.

18

Общим решением неоднородного уравнения является

yy0 y* C1e2x C2e3x xe2x.

3.Найти общее решение уравнения: y 6y 9y e2x .

Соответствующее однородное уравнение было решено в цикле примеров

однородных уравнений. Характеристическое уравнение имеет кратный корень 1 2 3, общее решением однородного уравнения является

y0 C1e3x C2xe3x.

Функция e2x не является решением однородного уравнения и, следовательно, частное решение надо искать по формуле

y* Ae2x.

Вычисляем производные y 2Ae2x , y 4Ae2x и находим коэффициент: 4Ae2x 12Ae2x 9Ae2x e2x A 1.

Общее решение неоднородного уравнения:

yy0 y* C1e3x C2xe3x e2x.

4.Найти общее решение уравнения: y 6y 9y e3x.

Левая часть уравнения та же, что в примере 3 на с. 14 – кратный корень.

Решение однородного уравнения:

y0 C1e3x C2xe3x.

Правая часть уравнения является решением однородного уравнения, и

потому частное решение надо искать по формуле

y* Ax2e2x.

Вычислим производные y* :

y* Ae3x 2x 3x2 , y* Ae3x 2 12x 9x2

и подставим их в неоднородное уравнение:

Ae3x 2 12x 9x2 6Ae3x 2x 3x2 9Ax2e3x e3x.

После упрощений получаем, что

2Ae3x e3x A 12 .

19

Общее решение неоднородного уравнения

yy0 y* C1e3x C2xe3x 12 x2e3x.

5.Найти общее решение уравнения y 6y 13y 2x2 1.

Соответствующее однородное уравнение было решено в цикле примеров однородных уравнений. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни 1 3 2i и 2 3 2i , общее решение однородного уравнения:

y0 e3x C1 cos 2x C2 sin 2x .

Функция 2x2 1 не является решением однородного уравнения и, сле-

довательно, частное решение надо искать по формуле

y* Ax2 Bx C.

Чтобы найти коэффициенты, вычислим производные y* :

y* 2Ax B, y* 2A

и подставим их в уравнение:

2 A 6 2 Ax B 13 Ax2 Bx C 2x2 1.

Коэффициенты при всех степенях x должны совпадать. Это дает систему

Таким образом, общим решением неоднородного уравнения является

yy0 y* e3x C1 cos2x C2 sin 2x 132 x2 16924 x 2197261 .

6.Найти общее решение уравнения y 4 y sin 2x.

Составим характеристическое уравнение

2 4 0.

Его корни

1,2 2i.

Решение однородного уравнения:

y0 C1 cos 2x C2 sin 2x.

20