МИНОБРНАУКИ РОССИИ
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
С. Г. ИВАНОВ А. В. МОРОЗОВА
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД
Учебно-методическое пособие
Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
2019
1
УДК 517.9 (07) ББК В 161.1я7 И20
Иванов С. Г., Морозова А. В.
И20 Линейные дифференциальные уравнения. Алгебраический подход: учеб.-метод. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2019. 32 с.
ISBN 978-5-7629-2503-7
Содержит материал для самостоятельного изучения студентами учебной дисциплины «Алгебра и геометрия» в разделах, связанных с линейными операторами и дифференциальными уравнениями. Предназначено для организации самостоятельной работы студентов по направлениям: 12.03.01 «Приборостроение», 12.03.04 «Биотехнические системы и технологии», 20.03.01 «Техносферная безопасность».
УДК 517.9 (07) ББК В 161.1я7
Рецензент – канд. физ.-мат. наук С. Б. Колоницкий (СПбГУ).
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-методического пособия
ISBN 978-5-7629-2503-7 |
© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2019 |
2
Введение
В течение многих лет в курсе математики заметную роль играют дифференциальные уравнения – область, совмещающая в себе и вычислительную составляющую, и практические приложения, и теоретические вопросы (например, существования и единственности). Кроме того, различные применения в курсах математики находят понятия линейного пространства, линейного отображения и соответствующей вычислительной и логической техники. Можно вспомнить и работу с матрицами, и решение систем линейных уравнений, и применение алгебраических методов для аналитической геометрии, и различные вычисления с многочленами, и другие темы, в которых используются идеи, связанные с линейным пространством и линейными преобразованиями. В данной работе два подхода используются одновременно, при этом оказывается, что приемы, используемые для объектов в евклидовом пространстве (для многочленов) и для дифференциальных уравнений имеют много общего. Например, решение некоторых дифференциальных уравнений можно рассматривать как поиск собственных чисел и собственных векторов дифференциального оператора.
3
1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.1. Линейное пространство
Определение. Множество L называют линейным (векторным) пространством, если на нем введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие условиям:
1)x, y L x y L ;
2)x y y x ;
3)x y z x y z ;
4)существует нулевой элемент, x + 0 = 0 + x;
5)для каждого элемента существует противоположный элемент –x:
–x x 0 ;
6)x L x L, R ;
7)существует единичный элемент 1:
1 x x 1 x ;
8) x x, x L, , R ; 9) x y x y, x, y L, R ;
10) x x x, x L, , R .
Примечание. Линейное пространство может состоять из любых элементов: арифметических и геометрических векторов, матриц, функций и других математических объектов.
Задачи.
Являются ли линейными пространствами следующие множества:
–всех сходящихся последовательностей;
–всех расходящихся последовательностей;
–всех функций, интегрируемых на отрезке [a, b];
–всех функций, не интегрируемых на отрезке [a, b]?
Здесь мы видим совмещение в одной задаче алгебры и математического анализа.
1.2. Базис линейного пространства
Понятие базиса, известное нам по системе арифметических и геометрических векторов, можно обобщить на произвольное линейное пространство.
Базисом линейного пространства называют подсистему, которая линейно независима и является порождающей.
4
Если каждый элемент пространства можно линейно выразить через некоторую меньшую подсистему (представить как линейную комбинацию), то говорят, что эта подсистема порождает всю систему.
Система элементов линейного пространства x1, x2, ..., xn называется линейно зависимой, если существуют числа a1, a2, …, an, не все равные 0, такие, что a1x1 a2x2 ... an xn 0 , где 0 – арифметический вектор, состоя-
щий из одних нулей, называемый ноль-вектор. Если таких коэффициентов не существует, то система называется линейно независимой.
Задачи.
1. Докажите, что система многочленов x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1, x4 + x3 + x2 + x+ 1, x3 + x2 + x + 1, x2 + x + 1, x + 1, 1 линейно независима.
Найдите разложение многочлена x4 + x3 в этой системе.
Примечание: можно задать взаимно-однозначное соответствие между многочленами степени не выше 5 и арифметическими векторами.
2. Докажите, что система x2 + 1, –x2 + 2x, x2 –x образует базис среди многочленов степени, не превосходящей 2, и выпишите в этом базисе столбец координат многочлена –2x2 + x–1.
3.Докажите, что система многочленов (x – 1)4, (x – 1)3, (x – 1)2, (x – 1), 1 линейно независима.
4.Найдите матрицу перехода от системы многочленов (x – 1)4, (x – 1)3, (x – 1)2, (x – 1), 1 к базису x4, x3, x2, x, 1.
5.Найдите координаты многочлена x2 + 1 в базисе (x – 1)2, (x – 1), 1.
6.Докажите, что пространство всех многочленов бесконечномерно.
7.Доказать, что (1, 1, 1), (1, 1, 2) и (1, 2, 3) образуют базис, и найти координаты вектора (6, 9, 14) в этом базисе.
1.3. Подпространство
Определение. Пусть L – линейное пространство. Его подмножество M называют подпространством пространства L, если оно само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения на число, заданных в L.
Примеры линейных подпространств: плоскость в пространстве, прямая на плоскости.
Задачи.
1. Являются ли подпространством: множество векторов, параллельных данной плоскости; множество векторов, перпендикулярных данному вектору; множество векторов, модуль которых меньше 1.
5